Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Vervollständigung von Maßen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Wir haben dann Dynkinsysteme untersucht als beweistechnisches Hilfsmitel (dort gilt mit $A_{n}\in D$ sind auch $\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in D$) und mit ihrer Hilfe die Eindeutigkeit von Maßen im sigma-endlicuen Fall bewiesen. Die Borelsche-SIgma-Algebra der "guten" Mengen war in der Sigma-Algebra des äußeren Maßes der "allgemein guten" Mengen enthalten. Wie viel größer war nun letztere? Sie umfasst nur noch die Teilmengen von Borel-Nullmengen, mehr nicht:

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Vervollständigung eines Maßraumes

Definition (Vollständigkeit von Maßen)

Ein Maß $m$ auf $(W,S)$ heißt vollständig, wenn alle Teilmengen von Nullmengen in der Sigma-Algebra liegen .

Die Sigma-Algebra der minimalen Vervollständigung von $m$ ergibt sich durch

$S_{1}=\{A\cup B:A\in S,\exists N\in S:B\subset N,m(N)=0\}$

$m$ wird naheliegend darauf fortgesetzt zu $m_{1}$ durch

$m_{1}(A\cup B):=m(A)$

Beweis

a) Die rechte Seite enthält mit $A=\emptyset$ die Teilmengen von Nullmengen von $m$. Wir müssen nur noch zeigen, dass sie eine Sigma-Algebra ist:

1.) Die Grundmenge ist in $S_{1}$, da $W=W\cup \emptyset \in S_{1}$

2.) Das Komplement ist wieder in in $S_{1}$: Sei $A\cup B\in S_{1}$ beliebig. Eine Aufteilung in den Schnitt mit N und mit N^C ergibt

${\begin{aligned}(A\cup B)^{C}=&A^{C}\cap B^{C}\\=&(A^{C}\cap \underbrace {B^{C}\cap N^{C}} _{=N^{C}})\quad \uplus \quad (A^{C}\cap B^{C}\cap N)\\=&\underbrace {(A^{C}\cap N^{C})} _{\in S}\quad \uplus \quad \underbrace {(A^{C}\cap B^{C}\cap N)} _{\subset N}\end{aligned}}$

und da $A,N\in S$ folgt $(A\cup B)^{C}\in S_{1}$.

3.) Die abzählbare Vereinigung ist wieder in $S_{1}$: Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\cup B_{n}\in S_{1}$. Wegen

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}\cup B_{n})=\underbrace {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)} _{\in S}\cup \underbrace {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\right)} _{\subset \bigcup _{n\in \mathbb {N} }N_{n}}$

und da die abzählbare Vereinigung von Nullmengen eine Nullmenge ist, folgt $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}\cup B_{n})\in S$.

b) Wir müssen noch die Wohldefiniertheit von $m_{1}$ zeigen: Seien $A\cup B=A'\cup B'$ zwei Darstellungen. Dann gilt

${\begin{aligned}A\subset &A'\cup N'\\A'\subset &A\cup N\end{aligned}}$

und mit der Monotonie von $m$

${\begin{aligned}m'(A\cup B)=&m(A)\leq m(A'\cup N')\\\leq &m(A')+m(N')=m(A')\\=&m'(A'\cup B')\\=&m(A')\leq m(A\cup N)\\\leq &m(A)+m(N)=m(A)=m'(A\cup B)\end{aligned}}$

und damit Gleichheit.

c) Zeige: $m'$ ist ein Maß auf $S_{1}$.

$m\geq 0$ und $m(\emptyset )=0$ ergeben sich aus der Definition. Seien $A_{n}\cup B_{n}\in S_{1}$ disjunkt. Da die abzählbare Vereinigung der $B_{n}$ in einer Nullmenge $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }N_{n}$ enthalten ist, gilt

${\begin{aligned}m'\left(\biguplus _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cup B_{n})\right)=&m'\left(\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup \underbrace {\biguplus _{n=1}^{\infty }B_{n}} _{\subseteq {\text{ Nullmenge}}}\right)\\=&m\left(\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m\left(A_{n}\right)\\=&\sum _{n=1}^{\infty }m'\left(A_{n}\cup B_{n}\right)\end{aligned}}$

d) $m'$ ist eine Fortsetzung von $m$, da $\forall A\in S:m'(A)=m(A)$

e) $m'$ ist die einzig mögliche Fortsetzung. Sei $m''$ eine weitere Fortsetung, dann gilt

$m''(A\cup M)=m(A)=m(A\cup M)$

Die minimale Vervollständigung ist gleich der Maßfortsetzung

Wir haben schon gezeigt, dass jede Teilmenge einer Nullmenge in der Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" $S^{\ast }$ liegt, d.h. $m^{\ast }|S^{\ast }$ ist vollständig. Es bleibt zu zeigen, dass die Vervollständigung von $S(H)$ nun $S^{\ast }$ enthält.

Satz

Sei $m:H\rightarrow [0,\infty ]$ ein sigma-endliches Prämaß auf einem Halbring $H$ über $W$ und $m^{\ast }$ das äußere Maß. Dann ist $m^{\ast }|S^{\ast }$ die Vervollständigung von $m|S(H)$.

Beweis

a) Sei $B\in S^{\ast }$ mit $m^{\ast }(B)<\infty$. Da $m^{\ast }$ als Infimum der Überdeckungen definiert ist, kann man beliebig genau $m^{\ast }$ durch Überdeckungen nähern. Das heißt zu jedem $n\in \mathbb {N}$ gibt es ein $A_{nk}\in H$ mit

$\sum _{k=1}^{\infty }m(A_{nk})\leq m^{\ast }(B)+{\frac {1}{n}}$

Zudem gilt $B\subset \bigcup _{k=1}^{n}A_{nk}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und das ist gleichbedeutend damit, dass $B$ im Schnitt dieser Mengen liegt

$B\subset A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{nk}\in S(H)$

Die Menge $A$ liegt in $S(H)$, da die $A_{nk}$ in $H$ liegen und $S(H)$ abgeschlossen ist gegenüber abzählbaren Schnitten und Vereinigungen. Weil für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt

$B\subset A\subset \bigcup _{k=1}^{n}A_{nk}$

folgt

$m^{\ast }(B)\leq m^{\ast }(A)\leq \sum _{k=1}^{\infty }m(A_{nk})\leq m^{\ast }(B)+{\frac {1}{n}}$

d.h. $m^{\ast }(B)=m^{\ast }(A)$.

Da $m^{\ast }$ auf $S^{\ast }$ ein Maß ist, gilt

$m^{\ast }(A\backslash B)=m^{\ast }(A)-m^{\ast }(B)=0$

Analog zur obigen Konstruktion für $B$ lässt sich $A\backslash B$ überdecken mit Mengen aus $S(H)$, d.h. es gibt eine Menge $C\in S(H)$ aus der Borelschen Sigma-Algebra mit

${\begin{array}{rcl}A\backslash B&\subset &C\\m^{\ast }(C)&=&0\end{array}}$

Dann ist $A\backslash C\in S(H)$ aus der Borelschen Sigma-Algebra und $B\cap C\subset C$ eine Teilmenge der $m^{\ast }|S(H)$-Nullmenge und $B$ lässt sich aufteilen gemäß

$B=\underbrace {(A\cap C^{C})} _{=B\backslash C^{C}}\uplus (B\cap C)\in {\tilde {S(H)}}$

und diese Darstellung entspricht der Darstellung in der Fortsetzung von $S(H)$.

b) Wir hatten angenommen $m^{\ast }(B)<\infty$. Ist $m^{\ast }(B)=\infty$, so betrachten wir mit der sigma-Endlichkeit von $m$ Mengen $E_{n}\in H$ mit $m(E_{n})<\infty$ und $W=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$. Wir haben gerade bewiesen, dass

$B\cap E_{n}$

in der Vervollständigung von $S(H)$ liegt und somit auch

$B=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(B\cap E_{n})$

Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der Eindeutigkeit der minimalen Vervollständigung und aus dem Eindeutigkeitssatz der Maßfortsetzung.