Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Aufgabensammlung

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Hier werden verschiedene Übungsaufgaben gesammelt.

Mengensysteme[Bearbeiten]

  • Zeige, dass die folgenden beiden Charakterisierungen eines Dynkin-Systems über der Grundmenge äquivalent sind:
    • enthält und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Differenzen von Mengen mit
    • enthält und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Komplementbildung
  • Zeige, dass die beiden Charakterisierungen einer -Algebra äquivalent sind
  • zeige, dass Schnitte von -Algebren wieder eine -Algebra sind.
  • Dieselbe Aufgabe für Dynkin-Systeme.
  • Ist im Allgemeinen die Vereinigung von -Algebren wieder eine -Algebra?
  • Sei Mengensystem. Zeige, dass die von erzeugte -Algebra die kleinste -Algebra ist, die enthält.
  • Dieselbe Aufgabe für das erzeugte Dynkin-System
  • Eine -Algebra ist entweder endlich oder überabzählbar.
  • Jede -Algebra ist ein Dynkin-System, aber nicht jedes Dynkin-System ist eine -Algebra.
  • Zeige: ist eine -Algebra über .
  • Nachrechnen, die Borel--Algebra von verschiedenen Mengensystemen erzeugt wird (Halboffene Intervalle, abgeschlossene Intervalle, offene Intervalle, ...)
  • Zeige, dass die Borel--Algebra über die folgenden Mengen enthält:
    • alle einelementigen Mengen
    • alle offenen, abgeschlossenen, kompakten Intervalle
    • alle rechts offenen Intervalle
    • ...
  • Jeder Ring mit ist eine Algebra.