Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Das Maß-Integral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. In diesem Kapitel definieren wir nun das Integral für primitive Funktionen und beweisen, dass zwei monoton wachsende Folgen in P mit demselben Grenzwert denselben Grenzwert der Integrale haben. Damit können wir für eine nicht-negative messbare numerische Funktion eindeutig das Integral definieren mit Hilfe der Integrale primitiver Funktionen. Das so definierte Integral ist wie das Riemann-Integral additiv, monoton und positive Skalare lassen sich mit dem Integral vertauschen.

Das Integral als Fläche unter der nicht-negativen Funktion[Bearbeiten]

Sei im ganzen Kapitel eine Menge, eine Sigma-Algebra und ein Maß.

Das Integral der Indikatorfunktion soll das Maß von sein. Das ist anschaulich die Fläche unterhalb der Funktion.

Indikatorfunktion.svg

Im Bild die Indikatorfunktion zu . Die Fläche ist 0,5+2+0,5=3.

Das Integral endlicher positiver Linearkombinationen , soll die endliche nicht-negative Linearkombination der Maße der sein. Das ist wie beim Riemann-Integral wieder die Fläche unter der Funktion.


Definition

Eien Grundmenge zusammen mit einer Sigma-Algebra und einem Maß heißt Maßraum.

Das Maßintegral für und , ist definiert als Abbildung von den primitiven Funktionen in die nicht-negativen Zahlen inklusive Unendlich wobei gilt

Beweis (Eindeutigkeit)

Das Integral ist unabhängig von der Darstellung von : Seien

zwei Zerlegungen von W und

Da

muss für gelten , d.h.

Das ergibt, da m additiv ist durch Vertauschen der Summen

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Ein einfaches Integral)

Sei mit das Zählmaß und gegeben. ist automatisch messbar. Berechne

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein einfaches Integral)

Stelle dar als primitive Funktion

Lösung (Ein einfaches Integral)

ist messbar, da links die Potenzmenge steht und somit automatisch gültig ist.

Für gilt

Die rechte Seite ist eine primitive Funktion, daher ist das Integral

Eigenschaften des Integrales primitiver Funktionen[Bearbeiten]

Satz

Das Integral ist additiv und positive Faktoren lassen sich mit dem Integral vertauschen, zudem ist das Interal monoton, in Formeln: Für und gilt

Damit gilt für eine beliebige Darstellung von ohne die Forderung der Disjunktheit der

Beweis

Es gilt nach Definition des Integrales

Für und betrachten wir die disjunkte gemeinsame Zerlegung. Das ergibt die Darstellungen

und wir rechnen mit der Additivität von die Additivität des Integrales nach gemäß

Da für alle ist und hat wegen auf die Darstellung

Wegen und der gerade gezeigten Additivität des Integrales gilt

Das ist die Monotonie.

Ein Hilfsssatz zu Grenzwerten von Integralen[Bearbeiten]

Wir wollen die Folgen der Integrale für zwei verschiedene Folgen in vergleichen. Dazu vergleichen wir erst einmal eine Folge mit einem festen anderen .

Satz

Seien und monoton steigend.

Aus folgt

Beweis

Wir benötigen einen Hilfsfaktor , den wir am Ende des Beweises gegen streben lassen. Mit diesem Faktor verwandeln wir das Kleiner-Gleich-Zeichen der Voraussetzung in ein Kleiner-Zeichen.

Da messbar sind, ist die Menge der für die größer gleich ist, messbar:

Auf gilt schon , auf gilt leider . Setzen wir den rechten Wert für auf durch Multiplikation mit , so gilt wegen für alle

Diese Ungleichung benutzen wir für den Beweis. Für gilt

und somit

Damit sind die monoton steigend:

Wegen der Voraussetzung und gilt

Da die monoton steigend gegen den Grenzwert streben, gibt es ein , sodass schon , in Formeln

Nach Definition von bedeutet das

Da für ALLE ein solches existiert, gehen die monoton steigend gegen

Wir nehmen die folgende Darstellung für an

Dann gilt für die einzelnen

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

ohne Stetigkeit beweisen

Da stetig von unten ist (gleichwertig zur Sigma-Additivität), folgt

Wegen gilt

Wir erhalten eine erste Abschätzung für das Integral wegen

Wegen der Rechenregeln für das Integral "Monotonie" und "Faktor vertauscht mit dem Integral" gilt

ergibt sich im Grenzwert aus der obigen Rechnung

Im Grenzwert bleibt das Größergleich-Zeichen erhalten.

Der Grenzwert ist unabhängig von der Wahl der Folge[Bearbeiten]

Satz

Zwei monoton wachsende Folgen in mit demselben Grenzwert haben denselben Grenzwert der Integrale: Seien und zwei wachsende Folgen in .

Aus folgt

Beweis

Für alle gilt

Wir haben gerade gezeigt, dass dann folgt

Die Ungleichungen bleiben im Grenzwert erhalten. Das ergibt

Das Integral nicht-negativer numerischer Funktionen[Bearbeiten]

Damit können wir nun definieren:

Definition

Sei und eine monoton wachsende Folge in mit . Dann heißt

das Integral von bezüglich .

Beweis (Eindeutigkeit des Integrales)

Wir haben gezeigt, dass für jedes eine solche Folge existiert und dass der Grenzwert für alle solchen Folgen eindeutig ist.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe (Ein einfaches Integral)

Sei mit das Zählmaß und gegeben. ist automatisch messbar. Berechne

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein einfaches Integral)

Stelle dar als Grenzwert primitiver Funktionen.

Lösung (Ein einfaches Integral)

ist messbar, da links die Potenzmenge steht und somit automatisch gültig ist.

Für gilt

Die Funktionen hinter dem Limes sind primitive Funktionen und ihr Integral ist nach Definition

Da die monoton wachsend gegen gehen, ist das Integral von der Grenzwert der obigen Integrale

Eigenschaften des Integrales[Bearbeiten]

Satz (Rechenregeln für das Maßintegral)

Für und gilt

Beweis (Rechenregeln für das Maßintegral)

Man hat es für Funktionen aus P gezeigt und rechnet es nun mit Folgen nach.

1.):

Seien mit , d.h.

Wegen gilt

d.h. . Wir haben damit eine Folge in gefunden, die monoton steigend gegen geht und erhalten automatisch das Integral von als Grenzwert der Integrale von

2.:

Seien zusätzlich mit . Dann gilt und

d.h. .

Wir haben damit eine Folge in gefunden, die monoton steigend gegen geht und erhalten automatisch das Integral von als Grenzwert der Integrale von . Wir nutzen jetzt die Additivität in für

3.:

Wegen

gilt mit obigem Satz

Die Ungleichung bleibt auch im Grenzwert erhalten, d.h.