Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz über majorisierte Konvergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist.

In diesem Kapitel zeigen wir den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante zu der messbaren Funktionenfolge gibt, d.h. , dann lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Dazu beweisen wir vorher einen Hilfssatz, für dessen Beweis wir wie erwartet den Satz über monotone Konvergenz benutzen.

Das Lemma von Fatou[Bearbeiten]

Satz (Lemma von Fatou)

Seien und für alle integrierbar.

a) Für gelte . Dann folgt

b) Ist integrierbar und , gilt ebenfalls

c) Für gelte . Dann folgt

d) Ist integrierbar und , gilt ebenfalls

Beweis (Lemma von Fatou)

a):

Da das Infiumum über eine Menge immer kleiner gleich einem seiner Elemente ist

ergibt sich mit der Monotonie des Integrales

Das Kleiner-Gleich-Zeichen gilt für alle , also bleibt es erhalten, wenn man rechts zum Infiumum übergeht und auch wenn man zum Grenzwert übergeht

Da das Infiumum über eine größere Menge automatisch kleiner gleich dem Infimum über die darin enthaltene kleinere Menge ist

ist monoton steigend. Zudem ist es größer gleich Null und wir können den Satz über monotone Konvergenz anwenden Mathe_für_Nicht-Freaks:_Der_Satz_über_monotone_Konvergenz und Grenzwert und Integral vertauschen. Zudem setzen wir obige Formel ein und erhalten

b):

Wir wollen a) anwenden und benötigen dazu nicht-negative Funktionen. Diese erhalten wir, indem wir die integrierbaren betrachten. a) ergibt gemeinsam mit der Additivität des Integrales für integrierbare Funktionen, da integrierbar nach Voraussetzung

Addieren von auf beiden Seiten ergibt

c):

Auch hier wollen wir a) anwenden und betrachten deshalb . Wegen der Rechenregel

und da gilt mit a) und da man für integrierbare Funktionen den Skalar mit dem Integral vertauschen kann

d):

Wir wollen b) anwenden. Betrachte dazu . Die Funktionen sind integrierbar und es gilt . Zudem ist

nach Voraussetzung ebenfalls integrierbar. Weil man für integrierbare FUnktionen den Skalar mit dem Integral vertauschen kann, folgt mit b)

Der Satz über majorisierte Konvergenz[Bearbeiten]

Und jetzt der wichtigste Grenzwertsatz für das Maßintegral.

Satz (Satz über majorisierte Konvergenz)

Ist integrierbar und messbar mit und , d.h. g Majorante, so existiert der Grenzwert der Integrale und Integral und Grenzwert lassen sich vertauschen

Beweis (Satz über majorisierte Konvergenz)

Wir wenden das Lemma von Fatou an, d.h. indirekt den Satz über monotone Konvergenz. Wegen sind alle und integrierbar, da

Damit lässt sich der gerade gezeigte Satz einfach anwenden, da allgemein gilt

Aufgabe: Gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten]

Aufgabe (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

Sei Maßraum und endlich. Seien integrierbar und gehe gleichmäßig gegen .

a) Dann ist integrierbar und

b) Die Endlichkeits-Bedingung an ist notwendig.

c) Welche Bedingung vom Satz über majorisierte Konvergenz ist bei b) verletzt?

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

b) Betrachte ein wanderndes zerfließendes Rechteck und nutze die Sigma-Endlichkeit von .

Beweis (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)

a) Da gleichmäßg gegen geht, gibt es ein mit

Damit folgt mit

und somit ist integrierbar. Wegen

gilt .

b) Betrachte

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild einfügen?

Das ist ein nach rechts wanderndes Rechteck, das immer flacher, aber auch immer breiter wird, sodass die Fläche darunter bleibt (man könnte die Fläche darunter auch gegen Unendlich streben lassen, indem man es schneller breiter werden lässt). Dann gilt

Die gehen punktweise gegen , da das Rechteck irgendwann an jedem festen vorbeizieht. Sie gehen gleichmäßig dagegen, da . Damit ist integrierbar, aber

c) Es gibt keine integrierbare Majorante. Die Majorante wäre mindestens und deren Integral ist unendlich, da die auf disjunkten Mengen Werte ungleich Null haben.