Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz von Stokes – „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir setzen den Umkehrsatz aus der Analysis II und die regulären Flächen, Tangentialvektoren, Tangentialräume, Normalenvektoren und die Orientierbarkeit aus der Differentialgeometrie voraus. Die Verallgemeinerung der regulären Flächen sind Mannigfaltigkeiten mit Rand. Der Rand einer solchen Mannigfaltigkeit ist zum Glück wieder eine Mannigfaltigkeit mit um Eins reduzierter Dimension.

Wir zeigen dann, dass es eine unendlich oft differenzierbare Zerlegung der Eins gibt durch Funktionen, die nur auf Kartengebieten definiert sind. Damit können wir eine kompakte Mannigfaltigkeit durch endlich viele Karten überdecken.

Mit der Transformationsformel der Maßtheorie können wir beweisen, dass das Integral einer Funktion definiert ist: schließlich ist der Definitionsbereich nur bis auf Kartenwechsel definiert und die Transformationsformel berücksichtigt genau die Änderung durch den Kartenwechsel.

Der Satz von Stokes sagt dann anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. In der Anwendung werden wir i.A. eine Volumenfunktion über die Kugel integrieren und ihre Ableitung über den Rand der Kugel integrieren.

To-Do:

Die ersten 5-10 Kapitel der Differentialgeometrie zur Verfügung stellen.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Definition

a) Der Halbraum von $ℝ^{n}$ ist

H^{n} = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n} : x_{1} \leq 0}

Das sind alle $x$ , deren erste Komponente im linken Halbraum liegt.

b) $V \subset H^{n}$ heißt offen genau dann wenn

Es gibt ein offenes $U \subset ℝ^{n}$ mit, dessen Schnitt mit dem Halbraum $V$ ergibt

V = U \cap H^{n}

Offen bedeutet eigentlich, dass um jeden Punkt $x \in U$ eine kleine Kugel noch ganz in $U$ liegt. Das geht auf dem Rand des Halbraums (bei ${x_{1} = 0})$ zwangsläufig nicht. Man behilft sich nun mit dieser Definition, dass es eine in $ℝ^{n}$ offen Menge gibt, deren Schnitt mit dem Halbraum $V$ ergibt.

c) Sei $V \subset H^{n}$ offen. Eine Funktion $f : V \to ℝ^{m}$ heißt differenzierbar genau dann wenn

es gibt ein offenes $U \subset ℝ^{n}$ mit $V \subset U$ ,es gibt eine differenzierbare Funktion

\overline{f} : U \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}

mit

\overline{f} |_{V} \equiv f

Erneut definiert man $\overline{f}$ auf einem in $ℝ^{n}$ offenen $U$ und betrachtet dann die Einschränkung auf $f$ . Man definiert

d f_{p} := d {\overline{f}}_{p}

Beweis

Der Halbraum reicht, um Folgen zu konstruieren, die gegen ${x_{1} = 0}$ gehen und damit die Differenzierbarkeit zu beweisen.

\begin{matrix} \frac{\partial \overline{f}}{\partial x_{j}} = & lim_{t ↑ 0} \frac{\overline{f} (p + t e_{j}) - \overline{f} (p)}{t} \\ = & lim_{t ↑ 0} \frac{f (p + t e_{j}) - f (p)}{t} \end{matrix}

Damit ist $\frac{\partial \overline{f}}{\partial x_{j}}$ eindeutig durch $f$ festgelegt und damit gilt für das Differential von $f$

d f = d \overline{f} = (\begin{matrix} \frac{\partial {\overline{f}}_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial {\overline{f}}_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial {\overline{f}}_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial {\overline{f}}_{m}}{\partial x_{1}} \end{matrix})

Wir verallgemeinern die regulären Flächen zu Mannigfaltigkeiten mit Rand

Definition

$M$ ist eine $n$ -dimensionale reguläre Mannigfaltigkeit mit regulärem Rand genau dann wenn

Es gibt offene Mengen $U_{i} \subset H_{i}$ und Parametrisierungen

F_{i} : U_{i} \subset H^{n} \to M

mit

1.) alle $F_{i}$ sind injektiv

2.) $M$ ist die Vereinigung der Bilder der $F_{i}$ :

⋃_{i} F_{i} (U_{i}) = M

3.) Für alle Paare $i, j$ für die sich die Bilder der Parametrisierungen schneiden $F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j}) \neq \emptyset$ sind die Urbilder des Schnittes offen in $H^{n}$ und die Verknüpfungen der Parametrisierungen differenzierbar

\begin{matrix} F_{i}^{- 1} (F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j})), F_{j}^{- 1} (F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j})) sind offen in H^{n} \\ F_{j}^{- 1} \circ F_{i}, F_{i}^{- 1} \circ F_{j} sind differenzierbar. \end{matrix}

d.h. es liegt folgendes kommutierende Diagramm vor

\begin{matrix} F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j}) \subseteq M \\ F_{i} ↗ & ↖ F_{j} \\ U_{i} \supseteq F_{i}^{- 1} (F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j})) & \overset{F_{j}^{- 1} \circ F_{i}}{\to} & F_{j}^{- 1} (F_{i} (U_{i}) \cap F_{j} (U_{j})) \subseteq U_{j} \end{matrix}

4.) Die Familie $(U_{i}, F_{i})_{i \in I}$ ist maximal bzgl. 1.)-3.), d.h. man hat alle möglichen Parametrisierungen aufgenommen.

Definition

a) Ein Punkt heisst im Rand von $M$ $⟺$

Für eine (und damit jede) Parametrisierung $F : U \subset H^{n} \to M$ um p gilt

F (0, x_{2}, \dots, x_{n}) = p

d.h. die Parametrisierung bildet Randpunkt von $U$ auf Randpunkte von $M$ ab.

b) Die Menge der Randpunkte ist $\partial M$ .

Beweis

Wir zeigen mit dem Umkehrsatz über einen Widerspruchsbeweis, dass die Definition eines Punktes am Rand nicht von der Parametrisierung abhängt.

Seien $F_{i} : U_{i} \to M$ Parametrisierungen um $p \in M$ mit

F_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) = p = F_{2} (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})

und $y_{1} \neq 0$ . Nach Voraussetzung ist

F_{1}^{- 1} \circ F_{2} : F_{2}^{- 1} (F_{1} (U_{1}) \cap F_{2} (U_{2})) \to F_{1}^{- 1} (F_{1} (U_{1}) \cap F_{2} (U_{2}))

umkehrbar differenzierbar.

Wegen $y_{1} \neq 0$ gibt es ein $ε > 0$ sodass eine ganze Kugel in dem Definitionsbereich der Parametrisierung enthalten ist

\exists 0 < ε < \frac{| y_{1} |}{2} : B (y_{1}, \dots, y_{n}, ε) \subset F_{2}^{- 1} (F_{1} (U_{1}) \cap F_{2} (U_{2}))

d.h. die $y_{1}$ -Achse wird nicht geschnitten. Mmt $U = B (y_{1}, \dots, y_{n}, ε)$ gilt für die Verknüpfung der Parametrisierungen

F_{1}^{- 1} \circ F_{2} : U \to H^{n}

da die Parametrisierungen injektiv sind (dann hat das Differential vollen Rang)

det d (F_{1}^{- 1} \circ F_{2}) (q_{2}) \neq 0

Mit dem Umkehrsatz damit existiert ein offenes $V \subset U$ , sodass

F_{1}^{- 1} \circ F_{2} : V \to (F_{1}^{- 1} \circ F_{2}) (V) \subset ℝ^{n}

umkehrbar differenzierbar ist. Dann existiert aber eine ganze Umgebung von $(y_{1}, \dots, y_{n})$ in $F_{1}^{- 1} \circ F_{2} (V) \subset U_{2}$ und somit auch Punkte mit $y_{1} > 0$

\begin{matrix} \exists (y_{1}, \dots, y_{n}) \in F_{1}^{- 1} \circ F_{2} (V) : y_{1} > 0 \\ (H^{n})^{C} \cap (F_{1}^{- 1} \circ F_{2}) (V) \neq \emptyset \end{matrix}

Das kann nach Definition von $U_{2}$ nicht sein. Ein Widerspruch. Damit muss $y_{1} = 0$ gegolten haben.

\begin{matrix} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U_{1} \subset H^{n} \subset ℝ^{n} & \overset{F_{1}^{- 1} \circ F_{2}}{\to} & (y_{1}, \dots, y_{n}) \in V \subset B (y, ε) \subset U_{2} \subset H^{n} \subset ℝ^{n} \\ F_{1} ↘ & ↙ F_{2} \\ p \in M \end{matrix}

Satz

a) Sei $M$ eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ . Dann ist $\partial M$ eine $(n - 1)$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.

b) Ist M orientierbar, so erzeugt M eine Orientierung auf $\partial M$

Beweis

a):

Sei $p \in \partial M^{n}$ ein Randpunkt der Mannigfaltigkeit und $F_{i} : U_{i} \subset H^{n} \to M^{n}$ eine Parametrisierung um $p \in M^{n}$ . Dann ist die erste Komponente des Urbildes von p Null

F_{i}^{- 1} (p) = (0, x_{2}^{i}, \dots, x_{n}^{i}) \in U_{i}

Betrachte die Projektion

\begin{matrix} p r : ℝ^{n} \to ℝ^{n - 1}, (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (x_{2}, \dots, x_{n}) \end{matrix}

die einen Vektor aus dem $ℝ^{n}$ einfach auf den $ℝ^{n - 1}$ einschränkt. Wir benötigen nun Definitionsbereiche für unsere Parametrisierungen von $\partial M$ . Wir zeigen, dass wir die Projektionen der $U_{i}$ verwenden können. Behauptung:

p r (U_{i}) ist offen

Beweis: Sei $(x_{2}, \dots, x_{n}) \in p r (U_{i})$ . Nach Definition von $p r$ gibt es ein $x_{1}$ mit

\begin{matrix} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U_{i} \end{matrix}

Da $U_{i}$ offen ist, gibt es eine ganze $ε$ -Kugel um $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ in $U_{i}$

\begin{matrix} B^{n} ((x_{1}, \dots, x_{n}), ε) \subset U_{i} \end{matrix}

Diese wird durch $p r$ abgebildet auf eine Kugel

\begin{matrix} B^{n - 1} ((x_{2}, \dots, x_{n}), ε) \subset p r (U_{i}) \end{matrix}

denn für $y \in B^{n} ((x_{1}, \dots, x_{n}), ε)$ mit erster Koordinate $x_{1}$ gilt

\sqrt{\sum_{i = 2}^{n} (y_{i} - x_{i})^{2}} = \sqrt{(x_{1} - x_{1})^{2} + \sum_{i = 2}^{n} (y_{i} - x_{i})^{2}}

und somit liegen alle $z \in B^{n - 1} ((x_{2}, \dots, x_{n}), ε)$ im Bild von $p r$ .

Damit ist $p r (U_{i})$ offen. Wir benötigen noch Parametrisierungen für den Rand, die wir uns durch Einschränkung verschaffen

\begin{matrix} {\overline{F}}_{i} := F_{i} |_{p r (U_{i})} : p r (U_{i}) \to \partial M \end{matrix}

Da $p r$ differenzierbar ist, ist

{\overline{F}}_{i}^{- 1} \circ {\overline{F}}_{j} : p r (U_{j}) \to p r (U_{i})

differenzierbar. Betrachte nur jene Indizes, für die die Kartenbilder den Rand von $M$ schneiden.

I^{'} := {i \in I : F_{i} (U_{i}) \cap \partial M \neq \emptyset}

Dann ist die Familie $(p r (U_{i}), F_{i})_{i \in I^{'}}$ maximal für $\partial M$ .

b):

Wähle eine Orientierung für M, d.h. nur $(U_{i}, F_{i})_{i \in I}$ mit

det (F_{i}^{- 1} \circ F_{j}) > 0

Mit

\begin{matrix} F_{i} \circ F_{j}^{- 1} : U_{j} \to U_{i}, (x_{1}^{j}, \dots, x_{n}^{j}) \mapsto (x_{1}^{i}, \dots, x_{n}^{i}) \end{matrix}

gilt

\begin{matrix} F_{i} \circ F_{j}^{- 1} : p r (U_{j}) \to p r (U_{i}), (x_{2}^{j} \dots, x_{n}^{j}) \mapsto (x_{2}^{i} \dots, x_{n}^{i}) \end{matrix}

Somit ändert sich $x_{1}^{i}$ nicht auf der Einschränkung $p r (U_{i})$ , wenn man $x_{2}^{j}, \dots, x_{n}^{j}$ ändert, d.h.

\frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{2}^{j}} = \dots = \frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{n}^{j}} = 0

Da $x_{1}^{i} < 0$ und $x_{1}^{j} < 0$ in einer Umgebung von p, gilt

\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} = & lim_{h \to 0} \frac{x_{1}^{i} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) - x_{1}^{i} (- h, x_{2}, \dots, x_{n})}{- h} \\ > & 0 \end{matrix}

Nun können wir die Determinante des Differentials hinschreiben, die wegen der Orientierbarkeit größer als Null ist.

\begin{matrix} 0 \overset{M orientierbar}{<} det d (F_{i}^{- 1} \circ F_{j}) = & det (\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} & \dots & \frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{n}^{j}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} & \dots & \frac{\partial x_{n}^{i}}{\partial x_{n}^{j}} \end{matrix}) \\ = & det (\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} & 0 & \dots & 0 \\ \frac{\partial x_{2}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} & \frac{\partial x_{2}^{i}}{\partial x_{2}^{j}} & \dots & \frac{\partial x_{2}^{i}}{\partial x_{n}^{j}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} & \frac{\partial x_{n}^{i}}{\partial x_{2}^{j}} & \dots & \frac{\partial x_{n}^{i}}{\partial x_{n}^{j}} \end{matrix}) \end{matrix}

Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile liefert mit $\frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{1}^{j}} > 0$ und der Definition der Determinante des Differentials von $d ({\overline{F}}_{i}^{- 1} \circ {\overline{F}}_{j})$

\begin{matrix} 0 < & \underset{> 0}{\underset{⏟}{\frac{\partial x_{1}^{i}}{\partial x_{1}^{j}}}} det d ({\overline{F}}_{i}^{- 1} \circ {\overline{F}}_{j}) \\ 0 < & det d ({\overline{F}}_{i}^{- 1} \circ {\overline{F}}_{j}) \end{matrix}

Damit ist $\partial M$ orientierbar.

Differenzierbare Zerlegung der Eins

Die Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen nicht durch eine Parametrisierung überdeckt werden. Die konstante Funktion mit Wert $1$ ist immer nur auf einem Kartengebiet definiert. Das ist unpraktisch. Wir zerlegen jetzt diese Einsfunktion in Funktionen, die nur auf den $F_{i} (U_{i})$ ungleich Null sind und gemeinsam addiert über alle Kartengebiete genau eins ergeben. Dann können wir Beweise auf den Kartengebieten führen und im letzten Schritt mit der Zerlegung der Eins auf die ganze Mannigfaltigkeit ausdehnen. Das ist uns einige Vorarbeit wert.

Satz

Die folgenden Hilfsfunktion

g_{1} : ℝ \to ℝ, t \mapsto {\begin{matrix} e^{- \frac{1}{(t + 1) (t + 2)}} & t \in (- 2, - 1) \\ 0 & t \in̸ (- 2, - 1) \end{matrix}

ist unendlich oft differenzierbar. Sie ist ein Buckel, der nur auf dem Intervall $(- 2, - 1)$ größer Null ist und sich an den Rändern in den Punkten ${- 1}$ und ${- 2}$ sanft der Null annähert.

Beweis

Sei $t \in̸ [- 1, - 2]$ . Dann ist $g_{1}$ identisch Null und somit unendlich oft differenzierbar.

Sei $t \in (- 1, - 2)$ . Dann ist $g_{1}$ die Verknüpfung der unendlich oft differenzierbaren Funktionen $\exp$ und $\frac{1}{t}$ und Addition und damit unendlich oft differenzierbar.

Sei $t \in {- 1, - 2}$ : Die linksseitige Ableitung in ${- 2}$ und die rechtsseitige Ableitung in ${- 1}$ sind identisch Null, da $g_{1}$ dort die Nullfunktion ist.

Nun betrachten wir den Grenzwert der Ableitungen im Inneren des Intervalles $(- 2, - 1)$ . Dazu müssen wir per Induktion berechnen, dass die $n$ -te Ableitung die Form hat

\frac{d^{n}}{d t^{n}} g_{1} = g_{1} \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} \frac{1}{(t + 1)^{i}} \frac{1}{(t + 2)^{j}}

Induktionsanfang $n = 1$ :

\frac{d}{d t} g_{1} = g_{1} \cdot (\frac{1}{t + 1} \frac{- 1}{(t + 2)^{2}} + \frac{1}{t + 2} \frac{- 1}{(t + 1)^{2}})

Das ist von der angegebenen Form.

Induktionsschritt: $n - 1 \to n$ . Nach Voraussetzung ist die $n - 1$ -te Ableitung von der angegebenen Form

\begin{matrix} \frac{d^{n} g_{1}}{d t^{n}} = & \frac{d}{d t} g_{1} \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} \frac{1}{(t + 1)^{i}} \frac{1}{(t + 2)^{j}} \\ = & (\sum_{i, j = 1}^{N} a_{i, j} \frac{1}{(t + 1)^{i}} \frac{1}{(t + 2)^{j}}) \cdot g_{1} \cdot (\frac{1}{t + 1} \frac{- 1}{(t + 2)^{2}} + \frac{1}{t + 2} \frac{- 1}{(t + 1)^{2}}) \\ + g_{1} \cdot \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i j} (\frac{- i}{(t + 1)^{i + 1}} \frac{1}{(t + 1)^{j}} + \frac{1}{(t + 1)^{i}} \frac{- j}{(t + 1)^{j}}) \end{matrix}

Das ist wieder von der angegebenen Form.

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion, gilt

\begin{matrix} lim_{x \to \infty} x^{n} \exp (- x) = & lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{\exp (x)} = 0 \end{matrix}

gelten

\begin{matrix} lim_{x ↗ - 1} \frac{1}{(x + 1)^{n}} \exp (- \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}) = & 0 \\ lim_{x ↘ - 2} \frac{1}{(x + 2)^{n}} \exp (- \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}) = & 0 \end{matrix}

Damit ist $g_{1}$ auch in den Punkten ${- 1, - 2}$ unendlich oft differenzierbar.

Das war die Buckelfunktion im $ℝ^{1}$ . Jetzt bauen wir daraus eine Plateau-Funktion um den Nullpunkt im $ℝ^{n}$ .

Satz

Es existiert eine differenzierbare Funktion

g : B (0, 3) \to ℝ, p \mapsto {\begin{matrix} 1 & für p \in B (0, 1) \\ \in (0, 1] & für p \in B (0, 2) \\ 0 & für p \in B (0, 3) ∖ B (0, 2) \end{matrix}

Beweis

Mit

g_{1} : ℝ \to ℝ, t \mapsto {\begin{matrix} \exp (- \frac{1}{(t + 1) (t + 2)}) & für t \in (- 2, - 1) \\ 0 & für t \in̸ (- 2, - 1) \end{matrix}

ist auch

g_{2} : ℝ \to ℝ, t \mapsto \frac{\int_{- \infty}^{t} g_{1} (s) d s}{\int_{- \infty}^{\infty} g_{1} (s) d s} = {\begin{matrix} = 0 & für t \leq - 2 \\ \in (0, 1] & für t \in (- 2, - 1) \\ = 1 & für t \geq - 1 \end{matrix}

unendlich oft differenzierbar, denn im Nenner steht eine Zahl größer Null und der Zähler wird nach einmaligem Ableiten $g_{1}$ , das unendlich oft differenzierbar ist.

Da g_ auf (-1,0] konstant gleich 1 ist und die Wurzel aus der Summe von Quadraten unendlich oft differenzierbar ist,

\begin{matrix} g_{2} |_{(- 1, 0]} = konstant \\ - \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}} : ℝ^{n} ∖ {0} \to (0, \infty) glatt \end{matrix}

ist die Verknüpfung dieser Funktionen

g : B (0, 3) \mapsto ℝ, x \mapsto g_{2} (- \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}})

wieder unendlich oft differenzierbar.

Satz

Sei $M^{n}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $p \in M$ und

$F : U \subset ℝ^{n} \to M$ eine Parametrisierung um p.

Dann gibt es eine Parametrisierung $\tilde{F} : B (0, 3) \to M$ um p mit

\begin{matrix} \tilde{F} (B (0, 3)) \subset & g (U) \\ {\tilde{F}}^{- 1} (p) = & (0, \dots, 0) \end{matrix}

Man verschiebt einfach den Definitionsbereich der Parametrisierung mittels einer vorgeschalteten Abbildung um $0$ .

Beweis

Sei $(x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}) \in U$ der Punkt, der auf $F (x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}) = p$ abgebildet wird. Da $U$ offen ist, gibt es eine $ε$ -Kugel in $U$

\exists r > 0 : B ((x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}), r) \subset U

Die Verschiebung um $x^{0}$

T : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, (y_{1}, \dots, y_{n}) \mapsto (y_{1} - x_{1}^{0}, \dots, y_{n} - x_{n}^{0})

und ihre Umkehrung sind als eine Differenz/Summe automatisch unendlich oft differenzierbar. Die Erweiterung auf $B (0, 3)$

H : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, p \to \frac{3 p}{r}

und ihre Umkehrung sind als Skalarmultiplikation ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Damit gilt

H \circ T : B ((x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}), r) \to B (0, 3)

Da H und T umkehrbar sind, ist

\tilde{F} := F \circ T^{- 1} \circ H^{- 1} : B (0, 3) \to M

definiert und wieder unendlich oft differenzierbar.

Nach diesen Vorarbeiten kommen wir zur Zerlegung der Einsfunktion auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Satz (Zerlegung der Eins)

Sei $M$ eine kompakte Mannigfaltigkeit und $(V_{i})_{i \in I}$ eine Überdeckung von $M$ durch Kartenumgebungen. Dann existieren differenzierbare Funktionen $g_{1}, \dots, g_{m}$ und Karten $V_{1} \dots, V_{m}$ sodass gilt:

a) $\sum_{i = 1}^{m} g_{i} = 1$

b) Die Werte der $g_{i}$ liegen im Intervall $[0, 1] : 0 \leq g_{i} \leq 1$

c) Der Träger der $g_{i}$ liegt in $V_{i}$ : $s u p p (g_{i}) \subset V_{i}$

Beweis (Zerlegung der Eins)

Für alle $p \in M$ betrachte die im Satz vorher konstruierte Parametrisierung $F_{p} : B (0, 3) \to M$ mit $F_{p} (B (0, 3)) \subset V_{p}$ . Auf

W_{p} := F_{p} (B (0, 1)) \subset V_{p}

ist die Funktion konstant Eins.

Da $M$ kompakt, $W_{p}$ offen und

M \subset ⋃_{p \in M} W_{p}

wird $M$ von endlich vielen $W_{i}$ überdeckt überdeckt

M \subset ⋃_{i = 1}^{n} W_{i} \subset ⋃_{i = 1}^{n} V_{i}

Dann sind

h_{i} : M \to ℝ, x \mapsto {\begin{matrix} g \circ f_{i}^{- 1} (x) & für x \in V_{i} \\ 0 & für x \in M ∖ V_{i} \end{matrix}

unendlich oft differenzierbar, da Null auf $F (B (0, 2)^{C})$ und der Träger der $h_{i}$ liegt in $V_{i}$ .

s u p p (h_{i}) \subset V_{i}

Definiere $g_{i}$ durch

g_{i} : M \to [0, 1], p \mapsto \frac{h_{i} (p)}{\sum_{j = 1}^{m} h_{j} (p)}

Als Quotient und Summe ist $g_{i}$ wieder unendlich joft differenzierbar, da definiert.

Das Integral einer n-Form

Das definieren wir einfach als das Integral über den Koeffizienten der n-Form. Dazu müssen wir zeigen, dass es unabhängig von der Kartenwahl ist.

Definition

Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit und

w = a_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \land \dots \land d x_{n}

eine n-Form auf U_1. Dann heißt

\int_{V_{1}} w = \int_{U_{1}} a_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots d x_{n}

das Integral von w.

Beweis

Seien $(U_{1}, F_{1}, V_{1}), (U_{2}, F_{2}, V_{2})$ Parametrisierungen und

f = F_{1}^{- 1} \circ F_{2} : U_{2} \to U_{1}, (y_{1}, \dots, y_{n}) \mapsto (x_{1} \dots, x_{n})

Dann erhalten wir eine neue n-Form $w_{2} = f^{*} (w_{1})$ auf $U_{2} \subset R^{n}$ mit Koeffizienten :

a_{2} = a_{1} (f_{1} (y_{1}, \dots, y_{n}), \dots, f_{n} (y_{1}, \dots, y_{n}))

Aus der Transformationsformel für Mehrfachintegrale im $ℝ^{n}$ folgt, da f umkehrbar und da durch die Orientiertheit $det d f > 0$

\begin{matrix} \int_{V_{1}} w \overset{D e f}{=} & \int_{U_{1}} a_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots d x_{n} \\ \overset{Trafo}{=} & \int_{U_{2}} | det (d f) | a_{2} (y_{1}, \dots, y_{n}) d y_{1} \dots d y_{n} \\ \overset{det d f > 0}{=} & \int_{U_{2}} det (d f) a_{1} (f_{1} (y), \dots, f_{n} (y)) d y_{1} \dots d y_{n} \\ = & \int_{V_{2}} a_{1} (f (y)) det (d f) d y_{1} \land \dots \land d y_{n} \\ = & \int_{V_{2}} a_{1} (f (y)) det (d f) det (\begin{matrix} d y_{1} & \dots & d y_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ d y_{n} & \dots & d y_{n} \end{matrix}) \\ = & \int_{V_{2}} a_{1} (f (y)) det (d f (d y_{1}), \dots, d f (d y_{n})) \\ = & \int_{V_{2}} f^{*} w \end{matrix}

Definition

Sei M eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit und $\sum_{i = 1}^{m} g_{i}$ eine Zerlegung der Eins. Das Integral von w ist

\int_{M} w := \sum_{i = 1}^{m} \int_{M} g_{i} w

Beweis

Da die Träger der $g_{i}$ in $V_{i}$ sind $s u p p (g_{i} w) \subset V_{i}$ macht es Sinn zu schreiben:

\int_{M} w = \int_{M} \sum_{i = 1}^{m} g_{i} w = \sum_{i = 1}^{m} \int_{V_{i}} g_{i} w

Sei $W_{j}$ eine Überdeckung mit derselben Orientierung wie $V_{i}$ und sei </math> $h_{j}$ eine zugehörige differenzierbare Zerlegung der Eins.

Dann ist $(V_{i} \cap W_{j})_{i, j \in I}$ eine Überdeckung von M und $g_{i} h_{j}$ ist eine zugeordnete Zerlegung der Eins und

\sum_{i = 1}^{m} \int_{M} g_{i} w = \sum_{i = 1}^{m} \int_{M} g_{i} (\sum_{j = 1}^{s} h_{j}) w = \sum_{i j} \int_{M} g_{i} h_{j} w

Das letzte Gleichheitszeichen verwendet, dass für jedes i die Funktionen $g_{i} h_{j}$ in $V_{i} \cap W_{j}$ definiert sind.

\sum_{j = 1}^{s} \int_{M} h_{j} w = \sum_{j = 1}^{s} \int_{M} h_{j} (\sum_{i = 1}^{m} g_{i}) w = \sum_{i j} \int_{M} g_{i} h_{j} w

Der Satz von Stokes Wir benötigen Hilfsaussage, dass der Abstand zwischen einer kompakten Menge und einer abgeschlossenen Menge, die sich nicht schneiden, echt größer Null ist

Satz

Sei $A \subset ℝ^{p}$ abgeschlossen und $K$ kompakt mit $A \cap K = \emptyset$ . Dann ist der Abstand zwischen beiden Mengen echt größer Null

d i s t (K, A) = inf {d (x, y) : x \in K, y \in A} > 0

für jede Metrik $d$ .

Beweis

1.) Die Funktion $x \mapsto d i s t (x, A) = inf {d (x, y) : y \in A}$ ist stetig

Mit der Definition der Metrik gilt

d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)

folgt durch Infimumbildung auf beiden Seiten, die das Kleiner-Gleich-Zeichen erhält

\begin{matrix} d i s t (x, A) = & inf {d (x, y) : y \in A} \\ \leq & inf {d (x, z) + d (z, y) : y \in A} \\ = & d (x, z) + inf {d (z, y) : y \in A} \\ = & d (x, z) + d i s t (z, A) \end{matrix}

Mit vertauschten Rollen von $x$ und $z$ gilt auch

\begin{matrix} d i s t (z, A) = & inf {d (z, y) : y \in A} \\ \leq & inf {d (z, x) + d (x, y) : y \in A} \\ = & d (z, x) + inf {d (x, y) : y \in A} \\ = & d (x, z) + d i s t (x, A) \end{matrix}

Für beliebiges $ε > 0$ wähle $δ = ε$ und es folgt

| d i s t (x, A) - d i s t (z, A) | \leq d (d, z) < ε

und das ist die Definition der Stetigkeit.

2.) dist(K,A)>0

Da K kompakt ist, nimmt die stetige Funktion $x \mapsto d i s t (x, A)$ ihr Minimum an auf K in einem Punkt, in Formeln

\exists q \in K : d i s t (q, A) = d i s t (K, A)

Da $A$ abgeschlossen ist, ist $A^{C}$ offen und da $q \in K \subset A^{C}$ , gibt es eine ganze $ε$ -Kugel um $q$ in $A^{C}$

\exists ε > 0 : B (q, ε) \subset A^{C}

Damit folgt

d i s t (K, A) = d i s t (q, A) \geq ε > 0

Satz

Sei $M^{n}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, kompakt und orientiert und $w$ eine differenzierbare $(n - 1)$ -Form auf $M$ und sei

i : ℝ^{n - 1} \to H^{n}, (x_{2}, \dots, x_{n}) \mapsto (0, x_{2}, \dots, x_{n})

d.h. es gilt

\begin{matrix} ℝ^{n - 1} \overset{i}{\to} H \supset U_{j} & \overset{p r}{\to} & p r (U_{j}) \\ F_{j} ↘ & ↙ \overline{F_{j}} \\ M \supset \partial M \end{matrix}

Dann gilt:

\int_{\partial M} i^{*} w = \int_{M} d w

In lokalen Koordinaten

\int_{p r (U)} a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{2} \dots d x_{n} = \int_{U} (\sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}}) d x_{1} \dots d x_{n}

Beweis

Die $(n - 1)$ -Form hat die allgemeine Form

w = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n}

wobei die $a_{j}$ differenzierbar sind. Nach Definition gilt für die Ableitung

d w = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{k}} d x_{k} \land d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n}

Man tauscht $d x_{k}$ an $d x_{1}, \dots, d x_{k - 1}$ vorbei und erhält wegen

\begin{matrix} d x_{i} \land d x_{k} = & - d x_{k} \land d x_{i} \end{matrix}

einen Faktor $(- 1)^{k - 1}$ . Dadurch tritt in $n - 1$ der Summanden ein Teilterm $d x_{k} \land d x_{k}$ auf, der aber Null ist und diese Summanden fallen weg (weil dann zwei Zeilen der Determinante gleich sind), in Formeln

\begin{matrix} d w = & \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{k}} d x_{k} \land d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n} \\ \overset{vertausche}{=} & \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1, k \neq j}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{k}} d x_{1} \land \dots \underset{= 0}{\underset{⏟}{d x_{k} \land d x_{k}}} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n} \\ + \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{k}} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n} \end{matrix}

Im letzten Satz des Kapitels über Differentialformen

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Differentialformen

haben wir schon gezeigt, dass gilt

i^{*} w = a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{2} \land \dots \land d x_{n}

1.) Sei $F : U \subset H^{n} \to M$ eine Parametrisierung, deren Bild den Träger von $w$ enthält (das konstruieren wir uns später durch eine unendlich differenzierbare Zerlegung der Eins, die wir an $w$ dranmultiplizieren)

s u p p (w) \subset F (U)

a) Das Bild der Parametrisierung schneide nicht den Rand: $F (U) \cap \partial M = \emptyset$

Da der Träger von $w$ in $F (U)$ liegt nach Voraussetzung, gilt

\begin{matrix} w |_{\partial M} = & 0 \end{matrix}

Damit gilt, dass

i^{*} w = \underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n})}} d x_{2} \land \dots \land d x_{n} = 0

und das Integral über die Untermannigfaltigkeit $\partial M$ über $i^{*} w$ wird automatisch Null

\int_{\partial M} i^{*} w = 0

Erweitere die Funktionen $a_{j}$ von ihrem jetzigen Defnitionsbereich $U$ auf ganz $H^{n}$ durch Fortsetzen mit Null

a_{j} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{matrix} a_{j} (x_{1}, \dots, x_{n}) & falls (x_{1}, \dots, x_{n}) \in U \\ 0 & falls (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H^{n} ∖ U \end{matrix}

Mit dem kompakten Träger $K = \overline{B (x, r)} \subset U$ der Zerlegung der Eins gilt da $\partial H^{n}$ abgeschlossen $K \cap \partial H \neq \emptyset$ mit dem letzten Hilfssatz

\begin{matrix} d (K, \partial H) > 0 \end{matrix}

Damit ist $K$ in einem Quader $Q$ enthalten, dessen Abstand von ${x_{1} = 0}$ echt größer Null ist.

K \subset Q = [x^{1}, x^{0}]

Die $a_{j}$ sind auf dem Rand des Quaders $Q$ Null: Für $1 \leq j \leq n$ gilt

\begin{matrix} a_{j} (x_{1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}^{0}, x_{j + 1}, \dots, x_{n}) = & a_{j} (x_{1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}^{1}, x_{j + 1}, \dots, x_{n}) \\ = & 0 \end{matrix}

Damit folgt durch partielle Integration über die jeweils $j$ -te Koordinate

\begin{matrix} \int_{M} d w \\ = & \int_{U} (\sum_{j} (- 1)^{j - 1} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}}) d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \sum_{j} (- 1)^{j - 1} \int_{Q} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}} d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \sum_{j} (- 1)^{j - 1} \int [\underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{j} (x_{1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}^{0}, x_{j + 1}, \dots, x_{n})}} \\ - \underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{j} (x_{1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}^{1}, x_{j + 1}, \dots, x_{n})}}] d x_{1} \dots d x_{j - 1} d x_{j + 1} \dots d x_{n} \\ = & 0 \end{matrix}

b) Die Parametrisierung schneidet den Rand der Mannigfaltigkeit: $F (U) \cap \partial M \neq \emptyset$

Wie in a) erweitern wir die Funktionen $a_{j}$ auf $H^{n}$ und betrachten einen Quader $Q = [x^{1}, x^{0}] \subset ℝ^{n}$ , der in der ersten Koordinate nur Elemente kleiner gleich 0 erfasst, der den kompakten Träger von $w$ enthält. Jetzt wir ein Term bei der partiellen Integration ungleich Null

\begin{matrix} \int_{M} d w \\ = & \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} \int_{Q} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}} d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} \int \dots (\int_{x_{j}^{1}}^{x_{j}^{0}} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}} d x_{j}) d x_{1} \dots d x_{j - 1} d x_{j + 1} d x_{n} \\ = & \int_{Q} [a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) - \underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{1} (x_{1}^{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}}] d x_{2} \dots d x_{n} \\ + \sum_{j = 2}^{n} (- 1)^{j - 1} \int_{Q} [\underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{j} (x_{1}, \dots, x_{j}^{0}, \dots, x_{n})}} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{a_{j} (x_{1}^{1}, \dots, x_{j}^{1}, \dots x_{n})}}] \\ d x_{1} \dots d x_{j - 1} d x_{j + 1} \dots d x_{n} \\ = & \int a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{2} \dots d x_{n} \\ = & \int i^{*} \sum_{j = 1}^{n} a_{j} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land d x_{n} \\ = & \int_{\partial M} i^{*} w \end{matrix}

2.) Benutze die unendlich oft differenzierbare Zerlegung der Eins

Sei $(V_{j})_{j = 1}^{n}$ eine Überdeckung von $M$ durch Koordinatenumgebungen die mit der Orientierung verträglich ist.

Sei $g_{1}, \dots, g_{n}$ eine untergeordnete differenzierbare Zerlegung der Eins.

Die Formen $w_{j} = g_{j} w$ erfüllen Fall 1.) und es gilt

\sum_{j = 1}^{n} w_{j} = w

Da $\sum_{j = 1}^{n} d g_{j} = 0$ gilt $\sum_{j = 1}^{n} d w_{j} = d w$ . Es ergibt sich

\begin{matrix} \int_{M} d w = & \sum_{j = 1}^{m} \int_{M} d w_{j} = \sum_{j = 1}^{m} \int_{\partial M} i^{*} w_{j} \\ = & \int_{\partial M} i^{*} \sum_{j = 1}^{n} w_{j} = \int_{\partial M} i^{*} w \end{matrix}

Jetzt wollen wir die Versionen des Satz von Stokes für zwei und drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten beweisen, wie sie in der Anwendung, insbesondere der Physik und den partiellen Differentialgleichungen verwendet werden.

Definition

Wir definieren uns die folgenden Abbildungen, die wir schon aus der Analysis II kennen

\begin{matrix} \nabla : C^{\infty} (X) \to V (X), f \mapsto \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}) \\ \nabla \times : V (X) \to V (X), f \mapsto \nabla \times f = (\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}} - \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}) \\ \nabla \cdot : V (X) \to C^{\infty} (X), f \mapsto \nabla \cdot f = \sum_{i = 1}^{p} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}} \\ Δ : C^{\infty} (X) \to C^{\infty} (X), f \mapsto Δ f = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} \end{matrix}

Satz (Der Integralsatz von Stokes)

Sei $X \subset ℝ^{3}$ offen, $a$ ein differenzierbares Vektorfeld auf $X$ und $M^{2} \subset X$ orientierte kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand. Zudem sei N der Normalenvektor an $M^{2}$ .

\begin{matrix} \int_{M^{2}} ⟨ \nabla \times a, N ⟩ d F & = & \int_{\partial M^{2}} ⟨ a, T ⟩ d s \end{matrix}

Beweis (Der Integralsatz von Stokes)

Mit einer Zerlegung der Eins genügt es in einem Kartengebiet zu rechnen. Sei $(U, F, V)$ eine Parametrisierung

F : U \subset H^{2} \to M

Die positive $u_{1}$ -Richtung zeigt aus U heraus. Wähle deshalb

\tilde{N} = \frac{\partial F}{\partial u^{1}}

Der Tangentialvektor $T = \frac{\partial F}{\partial u^{2}}$ ist eine Basis von $T_{p} \partial M^{2}$ . Sei $d x_{1}, d x_{2}$ die zu $\tilde{N}, T$ gehörige duale Basis (sie besteht nur aus zwei Elementen, da wir eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand betrachten). Da a nach Voraussetzung differenzierbar ist, betrachten wir die 1-Form

w = a_{1} d x_{1} + a_{2} d x_{2}

Daraus berechnen sich gemäß dem letzten Kapitel und wegen $d x_{i} \land d x_{i} = 0$

To-Do:

hier ist ein Vorzeichenfehler

\begin{matrix} i^{*} w = & a_{2} d x_{2} \\ d w = & \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} \frac{\partial a_{i}}{\partial x_{j}} d x_{j} \land d x_{i} \\ = & (\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}) d x_{1} \land d x_{2} \end{matrix}

Das ergibt für die beiden Integrale nach dem gerade bewiesenen Satz von Stokes

\begin{matrix} \int_{\partial F (U)} i^{*} w = & \int_{\partial F (U)} a_{2} d x_{2} \\ = & \int_{\partial F (U)} ⟨ a, T ⟩ d x_{2} \end{matrix}

und mit dem auf $T, \tilde{N}$ in $X \subset ℝ^{3}$ senkrechten Vektor $N$

\begin{matrix} \int_{F (U)} d w = & \int_{F (U)} (\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}) d x_{1} \land d x_{2} \\ = & \int_{F (U)} ⟨ \nabla \times a, N ⟩ d x_{1} \land d x_{2} \end{matrix}

Mit einer Zerlegung der Eins lässt sich die Aussage auf ganz $M$ und $\partial M$ fortsetzen.

Satz (Der Gaußsche Integralsatz)

Sei $n \geq 3, X \subset ℝ^{n}$ offen und $a$ differenzierbares Vektorfeld auf X. Sei $M^{n} \subset X$ kompakte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. $M^{n}$ ist durch den $ℝ^{n}$ orientiert.

Sei $N$ das nach außen gerichtete Einheitsnormalenfeld auf $\partial M$ . Dann gilt

\begin{matrix} \int_{M^{n}} \nabla \cdot a d V = \int_{\partial M^{n}} ⟨ a, N ⟩ d F \end{matrix}

Beweis (Der Gaußsche Integralsatz)

Mit einer Zerlegung der Eins genügt es, in Kartengebieten zu rechnen.

Sei $(U, F, V)$ Parametrisierung mit

F : U \subset H^{n} \to M

Die positive $u_{1}$ -Richtung zeigt aus dem Kartengebiet $U \subset H^{n}$ . Wähle deshalb

N = \frac{\partial F}{\partial u^{1}}

Sei $d x_{1}, \dots, d x_{n}$ die duale Basis zu $\frac{\partial F}{\partial u^{1}}, \dots, \frac{\partial F}{\partial u^{n}}$

Nur wenn man den folgenden Herleitungsweg für die n-1-Form wählt, passt es mit den Vorzeichen nach der Ableitung.

Aus der kanonischen n-Form (ein Vorfaktor würde sich bei der Endformel herauskürzen)

det (\begin{matrix} d x_{1} & \dots & d x_{n} \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \end{matrix})

erhält man durch Einsetzen von $a$ eine $(n - 1)$ -Form (Multilinearität in den Zeilen und Null, wenn zwei Zeilen gleich sind, bleiben dabei erhalten)

det (\begin{matrix} d x_{1} (a) & \dots & d x_{n} (a) \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \end{matrix})

wie man durch Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile sieht, da $a$ nach Voraussetzung differenzierbar ist.

\begin{matrix} d e t (\begin{matrix} d x_{1} (a) & \dots & d x_{n} (a) \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \\ d x_{1} & \dots & d x_{n} \end{matrix}) \\ = & a_{1} det (\begin{matrix} d x_{2} & \dots & d x_{n} \\ ⋮ \\ d x_{2} & \dots & d x_{n} \end{matrix}) - a_{2} det (\begin{matrix} d x_{1} & d x_{3} & \dots & d x_{n} \\ ⋮ \\ d x_{1} & d x_{3} & \dots & d x_{n} \end{matrix}) \\ + \dots + (- 1)^{j} a_{j} det (\begin{matrix} d x_{1} & \dots & d x_{j - 1} & d x_{j + 1} & \dots & d x_{n} \\ ⋮ \\ d x_{1} & \dots & d x_{j - 1} & d x_{j + 1} & \dots & d x_{n} \end{matrix}) \\ + \dots + (- 1)^{n - 1} a_{n} det (\begin{matrix} d x_{1} & \dots & d x_{n - 1} \\ ⋮ \\ d x_{1} & \dots & d x_{n - 1} \end{matrix}) \end{matrix}

Das ergibt

\begin{matrix} w = & \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} a_{j} d x_{1} \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land d x_{n} \end{matrix}

und somit

\begin{matrix} \int_{\partial F (U)} i^{*} w = & \int_{\partial F (U)} a_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = & \int_{\partial F (U)} ⟨ a, N ⟩ d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \end{matrix}

und

\begin{matrix} \int_{F (U)} d w = & \int_{F (U)} d (\sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} a_{j} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n}) \\ = & \int_{F (U)} \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{j - 1} (- 1)^{j - 1} \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \\ = & \int_{F (U)} \nabla \cdot a d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \end{matrix}

Mit einer Zerlegung der Eins gilt die Aussage für ganz M.

Satz (Satz von Green und partielle Integration)

Sei $X \subset ℝ^{3}$ offen, $M^{3} \subset X$ kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand und $f, g : X \to ℝ$ differenzierbar. Dann gilt

\begin{matrix} \int_{M^{3}} Δ f d V = & \int_{\partial M^{3}} ⟨ \nabla f, N ⟩ d F \\ \int_{M^{3}} (⟨ \nabla g, \nabla f ⟩ + g Δ f) d V = & \int_{\partial M^{3}} ⟨ g \nabla f, N ⟩ d F \\ \int_{M^{3}} (f Δ g - g Δ f) d V = & \int_{\partial M^{3}} ⟨ f \nabla g - g \nabla f, N ⟩ d F \end{matrix}

Die partielle Integration ist mit $n \geq 3, v : M^{n} \to ℝ^{n}$ gegeben durch

\int_{M^{n}} f d i v v d V = \int_{\partial M^{n}} f v \cdot d S - \int_{M^{n}} v \cdot g r a d f d V

Beweis (Satz von Green und partielle Integration)

a) Setze:

b = \nabla f

b)

\begin{matrix} \nabla (g \nabla f) = & \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (g \frac{\partial f}{\partial x_{i}}) \\ = & \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial g}{\partial x_{j}} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} + g \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} \\ = & ⟨ \nabla g, \nabla f ⟩ + g Δ f \end{matrix}

c)

\begin{matrix} \int_{M^{3}} (f Δ g - g Δ f) d V \\ = & \int_{M^{3}} (f Δ g + ⟨ \nabla g, \nabla f ⟩) d V - \int_{M^{3}} (g Δ f + ⟨ \nabla g, \nabla f ⟩) d V \\ = & \int ⟨ f \nabla g, N ⟩ d F - \int ⟨ g \nabla f, N ⟩ d F \\ = & \int ⟨ f \nabla g - g \nabla f, N ⟩ d F \end{matrix}

d)

\begin{matrix} \int_{\partial M^{n}} f v \cdot d S \overset{Stokes/Gauß}{=} & \int_{M^{n}} d i v (f v) d V \\ = & \int_{M^{n}} (f d i v v + v \cdot g r a d f) d V \end{matrix}