Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die äußere Ableitung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir können nun eine Ableitung einer k-Form zu einer (k+1)-Form definieren, indem wir einfach die Koeffizienten ableiten.

Die Ableitung ist mit dem Dachprodukt und gleichzeitig mit dem Vorschalten einer Funktion (Variablensubstitution) verträglich!

Zweifaches Anwenden der Ableitung ergibt Null.

Sei differenzierbar. Durch Multiplikation von mit einem Vektor erhält man eine -Form, nämlich

Definition

Sei . Die äußere Ableitung von w ist

Beispiel

Für

gilt

Satz

a) Für gilt: ist linear und lässt sich auf das Produkt anwenden

Seien und differenzierbar. Dann gilt ist linear, lässt sich auf das Dachprodukt anwenden, zweifache Anwendung von ergibt Null und vertauscht mit .

Beweis

:

a)

b)

c) Da an vorbeigezogen wird, gilt

d) 1. Fall: Für eine 0-Form gilt

Mit

folgt:

2. Fall: Sei . Wegen b) reicht es, zu betrachten.

Nach c) gilt

Somit

e) 1. Fall: Sei differenzierbar, also eine 0-Form.

2. Fall: Sei eine k-Form.