Wir können nun eine Ableitung einer k-Form zu einer (k+1)-Form definieren, indem wir einfach die Koeffizienten ableiten.
Die Ableitung ist mit dem Dachprodukt und gleichzeitig mit dem Vorschalten einer Funktion (Variablensubstitution) verträglich!
Zweifaches Anwenden der Ableitung ergibt Null.
Sei
differenzierbar. Durch Multiplikation von
mit einem Vektor
erhält man eine
-Form, nämlich
Definition
Sei
. Die äußere Ableitung von w ist
Beispiel
Für
gilt
Satz
a) Für
gilt:
ist linear und lässt sich auf das Produkt anwenden
Seien
und
differenzierbar. Dann gilt
ist linear, lässt sich auf das Dachprodukt anwenden, zweifache Anwendung von
ergibt Null und
vertauscht mit
.
Beweis
:
a)
b)
c) Da
an
vorbeigezogen wird, gilt
d) 1. Fall: Für eine 0-Form
gilt
Mit
folgt:
2. Fall: Sei
. Wegen b) reicht es,
zu betrachten.
Nach c) gilt
Somit
e) 1. Fall: Sei
differenzierbar, also eine 0-Form.
2. Fall: Sei
eine k-Form.