Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die Umkehrabbildung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Sei gegeben und eine Sigma-Algebra auf und eine Sigma-Algebra auf . Wann "vermittelt" die Abbildung zwischen den Sigma-Algebren? Das heißt, wann bildet sie alle Elemente der Ziel-Sigma-Algebra auf Elemente der Ursprungs-Sigma-Algebra ab? Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft der Abbildung mit verschiedenen Mengenrelationen zu vertauschen.

Definition von [Bearbeiten]

Definition (Die Abbildung )

Sei gegeben. Die Abbildung

ordnet jeder Teilmenge aus dem Zielraum ihre ursprünglichen Elemente aus dem Ursprungsraum zu. .

Beispiel zu [Bearbeiten]

Beispiel

Sei gegeben. Sei und werde auf abgebildet, so gilt

Werden von zwei verschiedene von auf dasselbe abgebildet, das dritte aber auf so gilt

Die , die nicht von getroffen werden, sind unerheblich. Nimmt man hinzu, so ändert sich nichts

vertauscht mit Mengenoperationen[Bearbeiten]

Satz (Die Abbildung vertauscht mit Mengenoperationen)

Sei gegeben. Ein wird von in die Menge abgebildet genau dann wenn es in liegt

Die Abbildung vertauscht mit der Komplementbildung, beliebigen (disjunkten) Vereinigungen, beliebigem Schnitt und der Enthaltenrelation. In Formeln

und es gilt

1.) Irgendwohin muss abbilden. Wenn es in abbildet, also in nicht in , dann kann es nicht von gekommen sein. Da bleibt nur das Komplement .

2.) Betrachten wir die und wählen ein in der Vereinigung , so muss das in mindestens einem der liegen. Schaue ich also mit zurück, welche auf abgebildet wurden, so sind diese in . Wenn ich alle solchen erfassen will, muss ich alle der Vereinigung abdecken und rechts die Vereinigung der wählen.

3.) Wählt man ein im Schnitt der , so ist Element von allen . Die von auf abgebildeten sind also in allen enthalten, somit im Schnitt .

4.) Wie 2.), nur dass in genau einem liegt und damit die , die von auf abgebildet wurden, auch in genau einem liegen.

5.) Wenn in liegt, schaut welche auf abgebildet werden. Diese werden aber insbesondere auch in abgebildet, sind also in

6.) bildet von nach ab. Jedes landet also in . Schaut man zurück mit von , so erhält man alle in .

Beweis (Die Abbildung vertauscht mit Mengenoperationen)

Da nach Definition

folgt

Verneinung ergibt

1.:

Da wir als disjunkte Vereinigung schreiben können, gilt

Mit der obigen Aussage

folgt, da wir als disjunkte Vereinigung schreiben können

2.):

liegt nach Definition in der Vereinigung genau dann wenn es ein gibt, sodass in liegt.

liegt nach Definition in der Vereinigung genau dann wenn es ein gibt, sodass in liegt.

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten

3.):

liegt nach Definition im Schnitt genau dann wenn in allen liegt.

liegt nach Definition im Schnitt genau dann wenn in allen liegt.

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten

4.):

Der Beweis läuft ganz analog zu 2.):

liegt nach Definition in der disjunkten Vereinigung genau dann wenn es genau ein gibt, sodass in liegt.

liegt nach Definition in der disjunkten Vereinigung genau dann wenn es genau ein gibt, sodass in liegt. Wir benutzen obige Aussage

und erhalten (das Ausrufezeichen bedeutet "genau ein")

5.):

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten direkt

6.):

Da eine Abbildung von nach ist, wird jedes in abgebildet, in Formeln

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten

Da die Elemente, die nach abgebildet wurden, nur aus stammen könnnen, folgt