Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Differentialformen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Satz von Stokes sagt anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. Wir integrieren also die Änderung über eine -dimensionale Mannigfaltigkeit und den Fluß über eine -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dazu betrachten wir Volumenfunktionen: die -Form IN JEDEM PUNKT und integrieren diese. Die Volumenfunktion lebt auf einem Vektorraum, dazu verwenden wir den Tangentialraum, z.B. auf dem Standard-Beispiel einer Kugeloberfläche. Der Tangentialraum ist dabei in jedem Punkt ein anderer.

Wir werden sehen, dass sich über die Determinante aus linearen Abbildungen alle alternierende -Formen (sprich -dimensionale Volumenfunktionen) konstruieren lassen; zudem läßt sich aus zwei alternierenden Formen wieder eine neue alternierende -Form konstruieren über das Dachprodukt. Die alternierenden -Formen lassen sich auch von einem Tangentialraum in den nächsten transportieren mit einer differenzierbaren Funktion , wobei automatisch über Anwendung von berücksichtigt wird, dass sich das Volumen unter Anwendung von ändert.

Insbesondere benötigen wir für den Satz von Stokes die Inklusionsabbildung , die einfach den in den abbildet und die erste Komponente dazu Null belässt.

Satz

Sei der Tangentialraum im Punkt . Auf diesem Vektorraum betrachten wir (punktweise) nun:

a) Die linearen Funktionen vom Tangentialraum nach

bilden einen Vektorraum.

b) Sei eine Basis von , sei und

Dann gilt

c) ist eine Basis von :

Die heißen duale Basis und sind genau an die gewählte (!) Basis angepasst.

Beweis

:

a) Seien und . Dann ist wieder linear, wie wir aus der linearen Algebra wissen.

b) Nach Definition von gilt

c) Erzeugendensystem: Sei linear und beliebig. Mit der Linearität und der Definition von folgt

linear unabhängig: Sei

Einsetzen von ergibt

d.h.

Damit bilden die eine Basis.

Mit den passt man die linearen an die gewählte Basis an. Wir hatten in der Maßtheorie (verallgemeinerte) Volumina von Quadern im betrachtet, da waren die Vektoren automatisch linear unabhängig, das ist nicht selbstverständlich, und unsere Volumenfunktion soll das bemerken: im sollen linear abhängige Vektoren automatisch ein Volumen der Größe Null aufspannen. Es reicht in der Definition zu fordern: Die Volumenfunktion wird Null, wenn zwei Vektoren gleich sind. Diese Eigenschaft nennen wir alternierend.

In der Differentialgeometrie haben wir zwei Orientierungen einer Basis kennengelernt. Diese wollen wir berücksichtigen, indem ein Volumen ein Vorzeichen bekommt. Beide Forderungen erfüllt genau die Determinante der linearen Algebra.

Definition

Eine Abbildung

heißt alternierend genau dann wenn

, wenn zwei gleich sind.

Sei und die Menge aller -linearen, alternierenden Abbildungen

Dann ist ein Vektorraum.

sind die linearen Abbildungen.

Beweis

ist wieder </math>k</math>-linear, d.h. in jeder Komponente linear.

Gilt , so folgt

Damit ist alternierend.

Satz

Alternierende -lineare Abbildungen lassen sich über die Determinante aus linearen Abbildungen konstruieren:

Für lineare Abbildungen erhält man eine alternierende -Form

durch die Determinante

Insbesondere ist

b) Gilt so wird die -Form Null.

c) Vertauscht man und , so ändert sich das Vorzeichen der Volumenfunktion gemäß , mit = Anzahl der Vertauschungen von benachbarten . Damit genügt es, zu betrachten, für .

Beweis

a) Da linear und linear in jeder Spalte, ist linear in jeder Spalte und ist -linear. Sei . Dann sind die -te und -te Spalte gleich und

Damit ist alternierend.

b) Für sind zwei Zeilen der Determinante gleich und die Determinante wird Null.

c) In der Determinante müssen -Mal benachbarte Zeilen vertauscht werden, was einen Faktor bedingt.

Satz

a) Es gilt

b) Eine Basis für ist

Beachte, dass die unterschiedlich sind und der Größe nach geordnet sind.

Beweis

a):

b):

Unabhängigkeit: Mit dem letzten Satz genügt es, der Größe nach geordnete Indizes zu betrachten

Sei also die -Form Null.

Setzt man mit ein , so erhält man, dass die Koeffizienten Null sein müssen.

Erzeugendensystem: Sei beliebig. Setze

Nach b) gilt

Da beide Abbildungen multilinear sind, gilt für beliebige :

Da das für beliebige galt, folgt .

Definition

a) Eine -Form ist eine differenzierbare Abbildung

b) Sei . Eine Abbildung

hat eine eindeutige Darstellung

heißt differenzierbar alle sind differenzierbar. Dann heißt k-Form. Abkürzende Schreibweise: .

Beweis

Da eine Basis sind.

Beispiel

Im gibt es folgende k-Formen:

0-Formen: Die differenzierbaren Funktionen

1-Formen:

2-Formen:

3-Formen:

4-Formen:

Das äußere Produkt von k-Formen

Definition

Das äußere Produkt einer -Form und einer -Form ist

Das ist eine -Form.

Beweis

Das ist wohldefiniert, da die Darstellung

eindeutig ist.

Jetzt berechnen wir einige Eigenschaftenh des Dachproduktes.

Satz

Sei w eine k-Form, r eine l-Form und s eine m-Form. Dann gilt:

a)

b)

c) ist linear in jeder Komponente: Für gilt

Beweis

b) Man tauscht an vorbei. Dabei erhält man -mal den Faktor . Das muss man -mal tun für jedes der .

c)

Satz

Es gilt zwar , aber es gilt nicht für alle k-Formen .

Beweis

Für

gilt

Beispiel

Für

gilt

Beweis

Wegen

gilt

Zurückziehen von k-Formen

Durch das Vorschalten einer differenzierbaren Abbildung erhält man eine neue k-Form.

Definition

Sei eine differenzierbare Abbildung mit

Für eine 0-Form sei

Für eine k-Form

d.h.

Beachte, dass Vektoren aus dem verlangt, auf dem stehen diese uns aber nicht zur Verfügung. Deshalb wenden wir die lineare Abbildung des Differentials auf die an, um im zu landen. Viel wichtiger ist die Anschauung: vergrößert oder verkleinert ggf. das Volumen des kleinen von den aufgespannten Parallelepipeds und genau das wollen wir erreichen, da das auch tut.

Satz

Sei eine differenzierbare Abbildung.

Seien . Dann gilt:

a) ist linear:

b) vertauscht mit dem Produkt einer Funktion und einer k-Form:

c) von einem Element der dualen Basis berechnet sich aus den partiellen Ableitungen von f gemäß

d.h. das folgende Diagramm kommutiert

Beweis

:

a) Für alle gilt, da die k-Formen einen Vektorraum bilden

b) Durch konsequentes EInsetzen der Definition folgt die Behauptung

c) Mit der Matrix , die aus den aufgebaut ist und da die -te-Zeile eines Vektors ausliest, folgt

Satz

a) vertauscht mit dem Dachprodukt. Für gilt:

b) entspricht dem Ersetzen der Variablen x durch f

wobei

c)

d) .

Beweis

a) Wir setzen der Reihe nach unsere Definition ein und erhalten

b) Sei . Wegen

gilt

c)

d)

Satz

Für

gilt

Beweis

Wegen

gilt