Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Fast überall geltende Eigenschaften – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. In diesem Kapitel zeigen wir, dass die Funktionen, die -fast sicher Null sind, einen Vektorraum bilden

m-fast überall[Bearbeiten]

Definition

Sei (W,S,m) ein Maßraum. Eine Eigenschaft E gilt -fast überall genau dann wenn

Das Integral bemerkt nicht Funktionswerte auf Nullmengen[Bearbeiten]

Der folgende Satz zeigt, warum beim Integrieren die Voraussetzungen nur -fast überall gelten müssen. Das Maß und somit das Integral bemerken die Nullmenge nicht.

Satz

Seien integrierbar und fast überall. Dann sind die Integrale gleich

Beweis

Wir beweisen als erstes für das Maß, dass es Unterschiede auf Nullmengen nicht bemerkt, dann zeigen wir die Behauptung für die Indikatorfunktion, dann für primitve Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für integrierbare Funktionen.

0.) Das Maß Für alle messbaren und Nullmengen bemerkt das aditive, monotone einen Unterschied auf der Nullmenge nicht,

'1.) Indikatorfunktion:

Wir verwenden nun mit , dass gilt

Sei eine Nullmenge und messbar. Dann gilt

Seien zwei Indikatorfunktionen, die -fast überall gleich sind, d.h.

Da messbar sind, ist

messbar. Nach Voraussetzung gilt

Damit sind die Integrale von und gleich

2.) primitive Funktionen Seien zwei primitive Funktionen, die -fast sicher gleich sind, d.h. in Formeln

Dann ist für das Integral nur der Wert der auf relevant, der Wert auf kann Null oder beliebig gesetzt werden! Wir haben die Behauptung gerade für Indikatorfunktionen gezeigt und beweisen sie nun für primitive Funktionen mit der Linearität des Integrales

Damit sind die Integrale von und gleich

3.) nicht-negative messbare Funktionen: Zu zwei gibt es monoton steigende Folgen primitiver Funktionen mit . Setze wieder . Dann ist für das Integral nur der Wert von auf relevant, der Wert auf kann Null oder beliebig gesetzt werden!

und gehen monoton steigend gegen bzw. . Damit gilt

Mit der Voraussetzung, dass und auf übereinstimmen, d.h. , folgt

4.) integrierbare Funktionen: Seien integrierbar und -fast sicher gleich mit . Dann sind und gleich auf und mit 3.) gilt

Dasselbe gilt für und . Damit folgt für das Integral

Wann das Integral Null wird[Bearbeiten]

Satz

Sei . Dann gilt

Beweis

: Mit -fast überall gilt

: Auf der wegen des messbaren messbaren Menge gilt automatsch . Damit lässt sich das Maß der Menge mit dem Integral berechnen zu Null mit der Monotonie

Die abzählbare Vereinigung der Mengen ist wieder eine Nullmenge und genau die Menge

und

Damit ist -fast sicher Null.

Die Funktionen, die fast überall Null sind, sind ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz

Die Menge der messbaren Funktionen, die fast überall Null sind,

ist ein Vektorraum.

Beweis

Die Funktion ist -fast überall Null und somit in .

a) Sei : Da gilt

Sei : Dann gilt

Damit sind auch Multiplikationen mit Skalaren wieder in .

b) Seien .

Aus folgt oder und damit

Das ergibt

und Summe sind wieder in .