Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Integrierbare Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Da wir das Integral nur für positive Funktionen eingeführt haben, zerlegen wir eine beliebige messbare Funktion in den Positivteil und den Negativteil , sodass gilt . Für beide Teile steht uns nun der Integralbegriff zur Verfügung. Als Integral von definieren wir dann einfach die Differenz aus dem Integral des Positivteiles und des Negativteiles . Genau wie beim Riemannintegral bewerten wir den Negativteil der Funktion als negativen Beitrag zum Integral. Wir rechnen nach, dass dieses Integral linear und monoton ist.

Das Integral numerischer Funktionen[Bearbeiten]

Definition

Jedes messbare lässt sich zerlegen in messbaren Positivteil und Negativteil durch

heißt integrierbar genau dann wenn

Dann setzt man als Integral von die Differenz aus dem Integral des Positivteiles und dem Integral des Negativteiles

Gleichwertige Bedingungen für Integrierbarkeit[Bearbeiten]

Es gibt zwei hilfreiche äquivalente Bedingungen dafür, dass integrierbar ist.

Satz

Für messbare sind gleichwertig:

1.) ist integrierbar.

2.) Es gibt eine integrierbare Funktion , sodaß

3.) ist integrierbar.

Beweis

ist messbar und es gilt (Beachte: hier steht ein Pluszeichen).

1.) 3.): Wegen

folgt mit der Monotonie dea Integrales

3.) 2.): Setze . Dann gilt und g=

Linearität des Maßintegrales[Bearbeiten]

Die integrierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum.

Satz (Linearität des Maß-Integrals)

Seien integrierbar und .

sind integrierbar und es gilt

Beweis (Linearität des Maß-Integrals)

Alle angegebenen Funktionen sind messbar.

1.) Die integrierbaren Funktionen sind ein Vektorraum:

Aus folgt

und ist integrierbar. Wegen

und wegen

sind alle angegebenen Funktionen integrierbar.

2.) Linearität des Integrales: Wir machen für eine Fallunterscheidung.

: Wegen und gilt

: Wegen

gilt, da man nicht-negative Skalare mit dem Integral vertauschen kann,

:

Addition: Wegen

gilt

Monotonie des Integrales[Bearbeiten]

Satz

Das Maß-Integral ist monoton: Seien integrierbar.

a) Aus folgt

b)

Beweis

:

Da gilt

Es folgt

:

und sind integrierbar. Wegen

gilt

d.h.

Aufgabe 1: Nullmenge[Bearbeiten]

Aufgabe (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Sei nichtnegativ und integrierbar. Dann gilt

Wenn auf einer Menge mit Maß größer Null wäre, so würde das ganze Integral unendlich werden.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Wähle eine Menge und betrachte .

Lösung (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Es gilt mit

Das ist nur erfüllt für

Aufgabe 2: Sigma-Endlichkeit[Bearbeiten]

Aufgabe (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Sei integrierbar. Zeige dass sigma-endlich ist.

Man nimmt die Urbildmenge der Null heraus, da nach Konvention . Das Maß kann endlich oder unendlich auf der Menge sein, für den Wert des Integral spielt das keine Rolle, für schon.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Suche eine einfache aufsteigende Folge von Mengen. Da integrierbar ist, ist das Maß der Megen mit bestimmt endlich (sonst wäre das Integral unendlich). Probleme kann es also nur geben, wo kleine Werte annimmt.

Lösung (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Es gilt mit

und somit

Betrachte für die Sigma-Endlichkeit nun die . Wegen

gilt

und die sind die gesuchten Mengen.

Aufgabe 3: Monotonie[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei integrierbar und

Dann folgt -fast überall.

Wie kommt man auf den Beweis?

Es gilt nach Voraussetzung für alle . Nun schreibt man die Ungleichung um zu

und wählt genau die passende Menge , die in der Sigma-Algebra ist, da messbar ist.

Lösung

Wähle . Da messbar sind, ist messbar und . Da beide integrierbar sind, ist die Differenz integrierbar. Auf der Menge ist und somit

Somit gilt -fast überall.