Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Konstruktion messbarer Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Jetzt konstruieren wir uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Andere Herleitung für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ?

Vergleich von Funktionen und Messbarkeit[Bearbeiten]

Wir wollen messbare Funktionen vergleichen und sicherstellen, dass die resultierende Menge wieder messbar ist. Das ist der Fall, wie der folgende Hilfssatz zeigt.

Satz

Wir benötigen die Aussagen, wann der Vergleich von und wieder in ist. Für sind die folgenden Mengen messbar, d.h. wieder in der Sigma-Algebra.

Beweis

:

a) Wegen und da die rationalen Zahlen dicht liegen in , existiert ein das dazwischen liegt und umgekehrt

Rechts stehen zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, das ist gleichwertig zu

Die Menge der , für die das erfüllt ist, ist also

Rechts steht genau die Bedingung für die abzählbare Vereinigung über , d.h.

Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte wieder in sind, folgt

b) Ganz analog mit vertauschten Rollen von und zeigt man

c) Wir haben schon in b) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

d) Wir haben schon in a) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

e) Wir haben in c) und d) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist unter Schnitten folgt

f) Wir haben gerade gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist unter Komplementen folgt

Konstruktion neuer numerischer Funktionen[Bearbeiten]

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare Funktionen.

Satz

  • Die konstante Funktion

    ist messbar.

  • Die Identität

    ist -messbar.

  • Seien numerischer Funktionen. Dann sind , und messbar, wenn sie definiert sind.

Beweis

1.):

Wir schauen mit zurück nach für das Erzeugendenssystem von :

Ist in , so werden alle auf abgebildet.

Ist nicht in , so wird kein auf abgebildet, d.h. man landet mit jeweils wieder in .

Damit ist messbar für beliebige , da in jeder Sigma-Algebra über enthalten sind.

2.):

Erneut betrachten wir, ob angewendet auf das Erzeugendensystem in liegt. Das ist der Fall

und damit ist messbar.

3.):

Wir verwenden die Ergebnisse des letzten Satzes des vorherigen Kapitels.

-g ist messbar: Sei messbar. Ddann folgt für alle

und ist messbar.

g+c ist messbar: Sei eine beliebige Konstante. Da für alle gilt

ist messbar.

f +- g ist messbar: ist definiert genau dann wenn nicht auftritt, d.h. für kein erscheint , in Formeln

Es gilt

Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass für messbare und folgt

Somit ist messbar, wenn es definiert ist.

Ganz analog für .

f² ist messbar Sei messbar. Dann gilt mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels

und somit

f*g ist messbar ist immer definiert. Es gilt die Gleichung

Die rechte Seite ist mit den oben gezeigten Bedingungen messbar.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Nehmen f,g gleichzeitig den Wert +- Unendlich an, so ist die rechte Seite nicht definiert. Nimm eine Fallunterscheidung vor, da sie danndas Produkt konstant ist und somit messbar.

1/g ist messbar: ist definiert genau dann wenn .

Ist messbar und definiert, so folgt wie oben für alle mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels

Numerische Funktionen als Grenzwerte[Bearbeiten]

Folgende Grenzwerte von Funktionenfolgen sind ebenfalls messbar. Da das Supremum und das Infimum werden kann, mussten wir in rechnen.

Satz

Sind messbar, so sind

messbar und

ist messbar, wenn es definiert ist.

Beweis

sind messbar Nach Definition des Supremums und des Infimums gilt für alle

und und sind messbar. Damit sind

als Verknüpfung von Supremum und Infimum messbar.

ist messbar Wegen der Darstellung des Betrages als

ist mit den gezeigten Formeln auch der Betrag messbar. (Wir setzen alle gezeigten Beziehungen so langsam zusammen).

ist messbar Gilt

so ist definiert und messbar, da

Aufgabe 1: Messbare Mengen[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei eine Folge messbarer Funktionen. Zeige:

a) .

Seien gegeben.

b)

c) Zeige

Lösung

a) Alle Funktionen sind größer gleich Null, lassen sich also problemlos summieren. Die Summe zweier messbarer Funktionen ist messbar. Durch Induktion ist auch die Summe endlich vieler Funktionen messbar. Wegen

und da auch der Grenzwert messbar ist, ist messbar. Obige Menge lässt sich aber anders schreiben als

und das liegt in .

b) Da und messbar sind, gilt mit obigen Satz

Das war der kurze Beweis mittels obiger Theorie. Zum Interesse zeigen wir noch den Weg ohne Theorie: Die Folge hat in einen Grenzwert, genau dann wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h.

Da messbar ist, ist . Nun müssen wir die Cauchybedingung umschreiben zu

Die rechte Seite ist aber wieder in .

c) Die Folge hat in den Grenzwert , genau dann wenn gilt

Da messbar ist, ist . Nun müssen wir die Grenzwertbedingung umschreiben zu

Die rechte Seite ist aber wieder in .

Aufgabe 2: Messbare Funktionen[Bearbeiten]

Aufgabe

a) Zeige: Aus messbar folgt nicht, dass messbar ist.

b) Aus -fast überall und messbar folgt nicht messbar.

Lösung

a) Setze und

Für gilt , somit ist nicht messbar.

ist konstant und damit automatisch messbar.

b) Sei Maßraum mit und

Dann gilt

und ist -Nullmenge. D.h. -fast überall.

ist messbar als Indikatorfunktion auf .

ist nicht messbar, da