Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Maß-Integral und Riemann-Integral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden.

Nun haben wir zwei Integralbegriffe: das eigentliche Riemann-Integraö aus der Analysis 1 und das Maßintegral. Auf einem endlichen Intervall ist jede Riemann-integrierbare Funktion auch Lebesgueintegrierbar und die Integrale haben den selben Wert. Für einen nicht-negativen Integranden gilt das auch für das uneigentliche Riemannintegral. Damit können wir Lebesgue-Integrale endlich explizit ausrechnen. Der Vorteil des Maßintegrales sind der Satz über monotone und über majorisierte Konvergenz.

Riemann- und Lebesgue-Integral[Bearbeiten]

Satz

Sei ein Funktion, für die das Riemann-Integral existiert. Dann existiert ein messbares, integrierbares mit -fast überall und die Integrale sind gleich

Die Aussage lässt sich nur -fast überall zu zeigen, da das Integral zwei Funktionen, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden, nicht auseinander halten kann.

Beweis

Nach Voraussetzung des Riemannintegrales ist beschränkt durch ein .

Sei eine Folge von feiner werdenden Zerlegungen von durch Punkte . Wähle auf den Intervallen den kleinsten und den größten Funktionswert von

und konstruiere damit Obersumme und Untersumme

Da Riemann-integrierbar ist, gilt

Mit den lassen sich auch zwei Treppenfunktionen konstruieren

Das setzen wir zusammen, sodass für gilt

und analog für

Wegen der oberen und unteren Schranke von erhalten wir eine integrierbare Majorante

und mit dem Satz über majorisierte Konvergenz lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Wegen gilt

und es folgt

Aus folgt

und ist messbar.

Uneigentliches Riemann- und Lebesgueintegral[Bearbeiten]

Satz

Sei , sodaß für alle

existiert. Dann sind uneigentliches Riemannintegral und Maß-Integral gleich

und es gilt

Beweis

Wegen gilt mit dem Satz über monotone Konvergenz

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe

Existiert das folgende Riemann oder Lebesgue-Integral und welchen Wert hat es gegebenenfalls?

Wie kommt man auf den Beweis?

Betrachte die Obersummen und Untersummen bzw. die Menge und .

Lösung

a) Das Riemann-Integral existiert nicht: Die größte untere Treppenfunktion ist die Nullfunktion auf und ihr Integral ist .

Die kleinste obere Treppenfunktion ist die konstante Funktion und ihr Integral auf ist .

b) Das Lebensgueintegral existiert und hat den Wert :

Benutze, dass eine Nullmenge ist und damit auch . Da eine primitive Funktion ist, berechnet sich das Integral ganz einfach durch

Das Entscheidende ist, dass das Lebesguemaß als abzählbare Überdeckung gewählt wurde und in diesem Fall beliebig klein wird.