Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Paradoxon von Banach-Tarski

To-Do:

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Im $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 3$ kann man zeigen, dass sich eine Kugel in endlich viele Teilmengen zerlegen lässt und diese sich durch Bewegungen, d.h. durch Drehung im Raum und Verschiebung im Raum so zusammensetzen lassen, dass zwei Kugeln desselben Volumens hervorgehen. Das widerspricht eklatant unserer Intuition eines Volumenbegriffes. In der Konstruktion geht erneut das Auswahlaxiom ein und die Mengen, in die zerlegt wird, sind sehr kompliziert konstruiert. Wir haben also sogar bei der schwächeren Forderung für die Maßfunktion, dass sie endlich vielen disjunkten Elementen die Summe der Einzelmaße zuordnet, einen Widerspruch. Es bleibt uns schlicht keine Wahl, als uns auf die "guten" Mengen zu beschränken, denen sich sinnvoll ein Maß zuordnen lässt.