Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen bewiesen.

Motivation

Wir folgern aus den Mittelwerteigenschaften des letzten Kapitels, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt. Daraus ergibt sich die Eindeutigkeit des Randwertproblems der Poissongleichung und zudem die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Randbedingungen: bei kleiner Änderung der Randbedingungen ändert sich die Lösung nur geringfügig. Das ist insbesondere in der Numerik von zentraler Bedeutung, wo man automatisch mit Ungenauigkeiten rechnet.

Der Zusammenhang

Dazu starten wir mit etwas Topologie: dem Begriff des Zusammenhangs. Genauere Erklärungen folgen detailliert im nächsten Kapitel.

Definition

1. Eine Menge $A\subset U$ heißt offen in $U$ genau dann wenn es eine offene Menge $B$ gibt sodass gilt $A=B\cap U$.
2. Eine Menge $A\subset U$ heißt abgeschlossen in $U$ genau dann wenn $U\backslash A$ offen in $U$ ist.
3. Eine Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zusammenhängend genau dann wenn sie nicht in zwei disjunkte, nicht-leere, in $U$ offene Mengen zerlegt werden kann.

Das schwache und starke Maximumprinzip

Satz

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt und sei $u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$ harmonisch auf $U$.

1.) Schwaches Maximumprinzip: $u$ nimmt sein Maximum über ${\overline {U}}$ auf dem Rand $\partial U$ an, in Formeln

$\max _{x\in {\overline {U}}}u(x)=\max _{x\in \partial U}u(x)$

Da mit $u$ auch $-u$ harmonisch ist, gilt auch

$\min _{x\in {\overline {U}}}u(x)=\min _{x\in \partial U}u(x)$

2.) Starkes Maximumprinzip: Ist $U$ zudem zusammenhängend und nimmt $u$ im Inneren sein Maximum über ${\overline {U}}$ an

$\exists x_{0}\in U:\ u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {U}}}u(x)$

so ist $u$ konstant auf ${\overline {U}}$.

To-Do:

ein Bild macht anschaulich, dass das nur auf einer Zusammenhangskomponente gilt

Beweis

2.):

Da $u$ stetig auf dem beschränkten und abgeschlossenen und damit kompakten ${\overline {U}}$, nimmt es dort sein Maximum und Minimum an. Setze $M:=\max _{x\in {\overline {U}}}u(x)$ als das Maximum von $u$ in ${\overline {U}}$. Sei

$S:=\{y\in U\ |\ u(y)=M\}$

die Menge der $y$ in $U$, in denen $u$ sein Maximum annimmt. Da $u$ in $x_{0}$ sein Maximum nach Voraussetzung annimmt, gilt $S\neq \emptyset$.

Wir zeigen nun, dass $S$ in $U$ abgeschlossen und offen ist. Da $U$ zusammenhängend ist, folgt dann $S=U$. Da $u\in C({\overline {U}})$ folgt $u\equiv M$.

Abgeschlossenheit: Da der Punkt $\{M\}$ in $\mathbb {R}$ abgeschlossen ist und da $u:{\overline {U}}\rightarrow \mathbb {R}$ stetig ist, ist

$S=U\cap u^{-1}(\{M\})$

in $U$ abgeschlossen nach Analysis II, da $u^{-1}(\{M\})$ abgeschlossen ist.

Offenheit: Sei $x\in S$ beliebig. Wähle einen Radius $r$, der kleiner ist als der Abstand von $x$ zum Rand von $U$, d.h.

$0<r<dist(x,\partial U)$

Betrachte nun die Kugel $B(x,r)$. Annahme: es gibt ein $y_{0}\in B(x,r)$ mit $u(y_{0})<M$.

Da $u$ stetig ist gibt es eine offene Umgebung $B(y_{0},\varepsilon )$ von $y_{0}$ in $B(x,r)$, in der alle Werte von $u$ kleiner als $M$ sind

$\forall y\in U:\ u(y)<M$

Das ergibt mit der Mittelwertformel des letzten Kapitels

${\begin{aligned}M{\stackrel {x\in S}{=}}&u(x)\\{\stackrel {\text{Mittelwertformel}}{=}}&{\frac {1}{Vol(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}u(y)dy\\=&{\frac {1}{Vol(B(x,r))}}\int _{B(x,r)\backslash B(y_{0},\varepsilon )}\underbrace {u(y)} _{\leq M{\text{, da }}M{\text{ Maximum}}}dy+{\frac {1}{Vol(B(x,r))}}\int _{B(y_{0},\varepsilon )}\underbrace {u(y)} _{<M}dy\\<&M\end{aligned}}$

d.h. ein Widerspruch.

Für alle $y_{0}\in B(x,r)$ gilt daher $u(y_{0})=M$.

Somit ist für alle $x\in S$ eine ganze Kugel $B(x,r)$ in $S$. Damit ist $S$ offen in $U$.

2.) $\Rightarrow$ 1.):

Eine offene und beschränkte Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ lässt sich darstellen als disjunkte Vereinigung

$U=\biguplus _{i\in I}U_{i}$

offener, beschränkter, zusammenhängender Mengen $U_{i}$. (Das zeigen wir im nächsten Kapitel).

Wegen ${\overline {U}}\supseteq \partial U$ ist das Maximum über ${\overline {U}}$ größer gleich dem Maximum über $\partial U$

$M:=\max _{x\in {\overline {U}}}u(x)\geq \max _{x\in \partial U}u(x)$

Sei $M$ dabei das Maximum von $u$ über den Abschluss ${\overline {U}}$.

Annahme: Das Maximum werde im Inneren von $U$ im Punkt $y$ angenomnen, d.h.

$M:=u(y)=\max _{x\in {\overline {U}}}u(x)>\max _{x\in \partial U}u(x)$

$y$ liegt in einer offenen beschränkten Zusammenhangskomponente $U_{i}$ und mit 2.) folgt $u\equiv M$ auf ganz ${\overline {U}}_{i}$.

Da der Rand der Zusammenhangskomponente $U_{i}$ im Rand von $U$ enthalten ist, $\partial U_{i}\subseteq \partial U$ gilt dann

$M>\max _{x\in \partial U}u(x)\geq \max _{x\in \partial U_{i}}u(x)=M$

Das ergibt einen Widerspruch und die Annahme ist falsch.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung

Satz

Sei $U$ offen und beschränkt. Seien $g\in C(\partial U),f\in C(U)$. Dann gibt es höchstens eine Lösung $u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$ des Randwertproblmes

$\left\{{\begin{matrix}\Delta u=f&{\text{ in }}U\\u=g&{\text{ auf }}\partial U\end{matrix}}\right.$

Beweis

Seien $u_{1},u_{2}\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$ zwei Lösungen des Randwertproblems. Für $w:=u_{1}-u_{2}$ gilt dann

$\left\{{\begin{matrix}\Delta w=0&{\text{ in }}U\\w=0&{\text{ auf }}\partial U\end{matrix}}\right.$

Mit dem Maximumprinzip folgt $w(x)\leq 0$ für alle $x\in U$.

Analog gilt für $-w=u_{2}-u_{1}$

$\left\{{\begin{matrix}\Delta (-w)=0&{\text{ in }}U\\-w=0&{\text{ auf }}\partial U\end{matrix}}\right.$

Mit dem Maximumprinzip gilt $-w(x)\leq 0$ für alle $x\in U$. Insgesamt folgt $w(x)=0$ für alle $x\in U$

Stetige Abhängigkeit der Poissongleichungs-Lösung von den Randbedingungen

Satz

Sei $U$ offen und beschränkt. Seien $g\in C(\partial U),f\in C(U)$. Die Lösung $u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$ des Randwertproblmes

$\left\{{\begin{matrix}\Delta u=f&{\text{ in }}U\\u=g&{\text{ auf }}\partial U\end{matrix}}\right.$

hängt stetig von den Randbedingungen ab in der $C^{0}$-Norm.

Beweis

Das ist eine Anwendung des Maximumprinzips und der Definition des Betrages

${\begin{aligned}\parallel u_{1}-u_{2}\parallel _{C^{0}({\overline {U}})}=&\max _{\overline {U}}|u_{1}-u_{2}|\\=&\max\{\max _{\overline {U}}(u_{1}-u_{2}),\max _{\overline {U}}(u_{2}-u_{1})\}\\=&\max\{\max _{\overline {U}}(u_{1}-u_{2}),-\min _{\overline {U}}(u_{1}-u_{2})\}\\=&\max\{\max _{\partial U}(u_{1}-u_{2}),-\min _{\partial U}(u_{1}-u_{2})\}\\=&\max\{\max _{\partial U}(g_{1}-g_{2}),-\min _{\partial U}(g_{1}-g_{2})\}\\=&\max _{\partial U}|g_{1}-g_{2}|\\=&\parallel g_{1}-g_{2}\parallel _{C^{0}(\partial U)}\end{aligned}}$