Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eindeutigkeit beim inhomogenen Problem – „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nach der Wärmeleitungsgleichung gehen wir nun zur Wellengleichung über, sie lautet

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times U:\ u_{tt}(t,x)-\Delta _{x}u(t,x)=f(t,x)$

Sie heißt homogen für $f=0$, sonst inhomogen.

Wir bewiesen die Darstellungsformel für die Lösung im Ganzraum $(0,\infty )\times \mathbb {R}$ und ein Spiegelungsprinzip. Dann zeigten wir die Euler-Poisson-Darbaux-Gleichung und die Kirchhoffsche Regel, das ist der Ganzraumfall für Dimension n=3. Daraus leiteten wir die Lösung für Dimension n=2 mit der Methode des Abstiegs her. Nun verwenden wir die Energiemethode, um die Eindeutigkeit der Lösung des inhomogenen Problems zu beweisen.

Die Energie der Lösung ist konstant

Satz

Seien $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt mit $C^{1}$-Rand, sei $T>0$ und sei $u\in C^{2}({\overline {U_{T}}})$ Lösung von

${\begin{aligned}u_{tt}-\Delta u=&0{\text{ in }}U_{T}\\u=&0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}$

Dann ist die Energie

${\begin{aligned}e:[0,T]\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto {\frac {1}{2}}\int _{U}u^{2}(t,x)+(\nabla u(t,x))^{2}dx\end{aligned}}$

konstant, d.h $\forall t\in [0,T]:\ e(t)=e(0)$.

Beweis

Da $u$ zweimal stetig differenzierbar ist, nimmt es auf dem kompakten Abschluss von $U_{T}$ sein Maximum an und dieses ist integrierbare Majorante. Damit lassen sich Integration und Differentiation vertauschen. Mit partieller Integration folgt

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e(t)=&\int _{U}(u_{t}u_{tt}+\nabla u\cdot \partial _{t}(\nabla u))dx\\=&\int _{U}(u_{t}u_{tt}+\nabla u\cdot \nabla u_{t}dx\\=&\int _{U}u_{t}\underbrace {(u_{tt}-\Delta u)} _{=0}dx+\int _{\partial U}\underbrace {u_{t}} _{=0}\nabla u\cdot NdS(x)\\=&0\end{aligned}}$

Damit ist $e$ konstant.

Eindeutigkeit des inhomogenen Problems

Satz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen mit $C^{1}$-Rand, $T>0$ und $u,v\in C^{2}({\overline {U_{T}}})$ Lösungen von

${\begin{aligned}\forall (t,x)\in U_{T}:\ &u_{tt}(t,x)-\Delta u(t,x)=f(t,x)\\\forall (t,x)\in \partial _{par}U_{T}:\ &u(0,x)=g(0,x)\\\forall (t,x)\in \{0\}\times U:\ &u_{t}(0,x)=h(0,x)\end{aligned}}$

mit $f\in C^{0}(U_{T}),g\in C^{2}(\partial _{par}U_{T}),h\in C^{1}(U)$

Beweis

Betrachte die Differenz $w:=u-v\in C^{2}({\overline {U_{T}}})$. Für diese gilt

${\begin{aligned}\forall (t,x)\in U_{T}:\ &w_{tt}(t,x)-\Delta w(t,x)=0\\\forall (t,x)\in \partial _{par}U_{T}:\ &w(0,x)=0\\\forall (t,x)\in \{0\}\times U:\ &w_{t}(0,x)=0\\\end{aligned}}$

Da $w\in C^{2}({\overline {U_{T}}})$ folgt

${\begin{aligned}w=0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}$

Nach dem letzten Hilfssatz ist die Energie konstant

${\begin{aligned}e(t)=e(0)=\int _{U}w_{t}^{2}(0,x)+(\nabla w(0,x))^{2}dx=0\end{aligned}}$

Somit

${\begin{aligned}0=e(t)=\int _{U}w_{t}^{2}(t,x)+(\nabla w(t,x))^{2}dx\end{aligned}}$

Dann sind die einzelnen Terme unter dem Integral zwangsläufig Null $w_{t}\equiv 0$ und $\nabla w\equiv 0$ in $U_{T}$ und es folgt

${\begin{aligned}w={\text{ konstant}}=0\end{aligned}}$