Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Einführung in partielle Differentialgleichungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir hatten in der Analysis II schon gewöhnliche Differentialgleichungen kennengelernt: diese waren von einer Variablen abhängig. Hat man eine Differentialgleichung, die von mehreren Variablen abhängt, nennt man sie partielle Differentialgleichung.

Um die Formeln übersichtlicher lesbar zu machen, vereinbaren wir für die partiellen Ableitungen eine Indexschreibweise, z.B. $u_{t}={\frac {\partial u}{\partial t}}$.

Wir decken den typischen Stoff einer Einführungsvorlesung zu partiellen Differentialgleichungen ab, das sind

die Laplacegleichung

$\Delta u=0$

die Poissongleichung

$\Delta u=f$

die Wärmeleitungsgleichung

$\partial _{t}u=\Delta u$

mit der man die Ausbreitung der Wärme in Raum und Zeit berechnen kann

die Wellengleichung

$\partial _{tt}u=\Delta u$

mit der man die Ausbreitung von Schwingungen und Wellen beschreibem kann. Das können Schallwellen, Schwingungen einer Violinseite, Schwingungen einer Brücke oder Wasserwellen sein.