Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Untervektorraum

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Vektorraum der Polynome[Bearbeiten]

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Das Kapitel "Vektorraum der Polynome" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen

Du kennst sicher aus der Schule Polynome. Polynome sind Funktionen folgender Art: ; dabei ist .

Wir wollen im Folgenden den Polynomraum etwas näher untersuchen.[1] Wir betrachten die Polynome nicht als Funktionen, bei denen für die Variable ein Wert eingesetzt werden kann und dann ein errechnet wird, sondern wir betrachten die Polynome selbst als Vektoren über dem Körper ihrer Koeffizienten, also als Vektoren der Form .

Dabei heißt der Grad des Polynoms und gibt den höchsten Exponenten des Polynoms an.

Die Menge ist mit folgender Vektoraddition und Skalar Multiplikation ein Vektorraum über dem Körper .

  • Addition: mit
  • Skalar Multiplikation: mit

Man bezeichnet diesen Vektorraum auch mit und nennt ihn den Vektorraum der Polynome über dem Körper .

Aufgabe (Polynome als Vektorraum)

Zeige, dass ein Vektorraum über ist.

Wir bezeichnen weiter mit die Menge der Polynome, die höchstens den Grad haben. Also ist beispielsweise

Weiterführende Beispiele[Bearbeiten]

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Verwenden jetzt weiterführende Begriffe, insbesondere lineare Abbildungen, Kern, Bild etc.

Polynome sind Unterräume von [Bearbeiten]

Es gilt ist Untervektorraum von ,[2] denn das Nullpolynom und damit .

Sei und mit .

Für gilt dann

.

Damit ist bezüglich Addition und Skalar Multiplikation abgeschlossen und ist damit ein Unterraum von

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Das Nullpolynom ist definiert als
  • Es gelten, wie Du leicht zeigen kannst, folgende Inklusionen von Unterräumen:
  • Sei die Menge aller Polynome mit genauem Grad ist kein Unterraum von , denn sei
und ,

dann ist zwar , aber die Summe

Damit ist G bzgl. der Addition nicht abgeschlossen und damit kein Unterraum.

  • Wir betrachten die Menge aller Polynome, die bei eine Nullstelle[3] haben, und zeigen, dass ein Unterraum von ist. Sei
,

dann ist , denn für das Nullpolynom gilt und damit ist . Weiter gilt für . Es ist und damit ist

.

Es gilt auch für alle Skalare und alle :

und damit ist .

Damit sind die Unterraumaxiome nachgewiesen.

  • Die Menge ist kein Unterraum, denn das Nullpolynom ist kein Element von , da laut Definition für alle und damit insbesondere .
  1. http://userpage.fu-berlin.de/def/Bilder/Polynomraeume.pdf
  2. http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/linalg/kapitel2.pdf
  3. siehe auch Nullstelle