To-Do:
Das Kapitel "Vektorraum der Polynome" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen
Du kennst sicher aus der Schule Polynome. Polynome sind Funktionen folgender Art:
; dabei ist
.
Wir wollen im Folgenden den Polynomraum etwas näher untersuchen.[1] Wir betrachten die Polynome nicht als Funktionen, bei denen für die Variable
ein Wert eingesetzt werden kann und dann ein
errechnet wird, sondern wir betrachten die Polynome selbst als Vektoren über dem Körper ihrer Koeffizienten, also als Vektoren der Form
.
Dabei heißt
der Grad des Polynoms und gibt den höchsten Exponenten des Polynoms an.
Die Menge
ist mit folgender Vektoraddition und Skalar Multiplikation ein Vektorraum über dem Körper
.
- Addition:
mit 
- Skalar Multiplikation:
mit 
Man bezeichnet diesen Vektorraum auch mit
und nennt ihn den Vektorraum der Polynome über dem Körper
.
Aufgabe (Polynome als Vektorraum)
Zeige, dass
ein Vektorraum über
ist.
Wir bezeichnen weiter mit
die Menge der Polynome, die höchstens den Grad
haben. Also ist beispielsweise
To-Do:
Das Kapitel "weiterführende Beispiele" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen
To-Do:
Verwenden jetzt weiterführende Begriffe, insbesondere lineare Abbildungen, Kern, Bild etc.
Polynome sind Unterräume von 
[Bearbeiten]
Es gilt
ist Untervektorraum von
,[2] denn das Nullpolynom
und damit
.
Sei
und
mit
.
Für
gilt dann
![{\displaystyle {\begin{aligned}r(x)\colon &=(\lambda \cdot p+\mu \cdot q)(x)=\lambda \cdot p(x)+\mu \cdot q(x)=\\[0,3em]&=\,\lambda (\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i})+\mu (\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i})x^{i}+\sum _{i=0}^{n}(\mu b_{i})x^{i}=\\[0.3em]&=\,\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})x^{i}\in K[x]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d7cb46c21d327b49ea7f6c3a193276f02523d2)
.
Damit ist
bezüglich Addition und Skalar Multiplikation abgeschlossen und ist damit ein Unterraum von
- Das Nullpolynom ist definiert als
- Es gelten, wie Du leicht zeigen kannst, folgende Inklusionen von Unterräumen:
- Sei
die Menge aller Polynome mit genauem Grad
ist kein Unterraum von
, denn sei

und

,
dann ist zwar
, aber die Summe
Damit ist G bzgl. der Addition nicht abgeschlossen und damit kein Unterraum.
- Wir betrachten die Menge
aller Polynome, die bei
eine Nullstelle[3] haben, und zeigen, dass
ein Unterraum von
ist. Sei
![{\displaystyle U=\lbrace p\in K_{n}[x]\,|\,p(1)=0\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7fbd9cb1c476b54dcc3743bfa4f843c0f7efe7)
,

.
Es gilt auch für alle Skalare
und alle
:
und damit ist
.
Damit sind die Unterraumaxiome nachgewiesen.
- Die Menge
ist kein Unterraum, denn das Nullpolynom ist kein Element von
, da laut Definition
für alle
und damit insbesondere
.
- ↑ http://userpage.fu-berlin.de/def/Bilder/Polynomraeume.pdf
- ↑ http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/linalg/kapitel2.pdf
- ↑ siehe auch Nullstelle