Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Untervektorraum

Vektorraum der Polynome

To-Do:

Das Kapitel "Vektorraum der Polynome" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen

Du kennst sicher aus der Schule Polynome. Polynome sind Funktionen folgender Art: $p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x^{1}+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$; dabei ist $x^{0}=1$.

Wir wollen im Folgenden den Polynomraum etwas näher untersuchen. Wir betrachten die Polynome nicht als Funktionen, bei denen für die Variable $x$ ein Wert eingesetzt werden kann und dann ein $y{\text{-Wert}}$ errechnet wird, sondern wir betrachten die Polynome selbst als Vektoren über dem Körper ihrer Koeffizienten, also als Vektoren der Form $p_{n}(x)\colon =\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$.

Dabei heißt $n\in \mathbb {N}$ der Grad des Polynoms und gibt den höchsten Exponenten des Polynoms an.

Die Menge $V=\left\lbrace \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}|\alpha _{i}\in K,n\in \mathbb {N} \right\rbrace$ ist mit folgender Vektoraddition und Skalar Multiplikation ein Vektorraum über dem Körper $K$.

• Addition: $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{n}(\alpha _{i}+\beta _{i})x^{i}$ mit $\alpha _{i},\beta _{i}\in K$

• Skalar Multiplikation: $s\cdot (\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{n}s\alpha _{i}x^{i}$ mit $\alpha _{i}{\text{ und }}s\in K$

Man bezeichnet diesen Vektorraum auch mit $K[x]$ und nennt ihn den Vektorraum der Polynome über dem Körper $K$.

Aufgabe (Polynome als Vektorraum)

Zeige, dass $K[x]$ ein Vektorraum über $K$ ist.

Wir bezeichnen weiter mit $K_{n}[x]$ die Menge der Polynome, die höchstens den Grad $n$ haben. Also ist beispielsweise $K_{2}[x]=\lbrace ax^{2}+bx+c|{\text{ für alle }}a,b,c\in K\rbrace$

Weiterführende Beispiele

To-Do:

Das Kapitel "weiterführende Beispiele" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen

To-Do:

Verwenden jetzt weiterführende Begriffe, insbesondere lineare Abbildungen, Kern, Bild etc.

Polynome sind Unterräume von $Abb(K,K)$

Es gilt $K[x]$ ist Untervektorraum von $Abb(K,K)$, denn das Nullpolynom $0(x)=0\in K[x]$ und damit $K[x]\neq \emptyset$.

Sei $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ und $q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}$ mit $a_{i},b_{i}\in K{\text{ für }}0\leq i\leq n$.

Für $\lambda ,\mu \in K$ gilt dann

${\begin{aligned}r(x)\colon &=(\lambda \cdot p+\mu \cdot q)(x)=\lambda \cdot p(x)+\mu \cdot q(x)=\\[0,3em]&=\,\lambda (\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i})+\mu (\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i})x^{i}+\sum _{i=0}^{n}(\mu b_{i})x^{i}=\\[0.3em]&=\,\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})x^{i}\in K[x]\end{aligned}}$.

Damit ist $K[x]$ bezüglich Addition und Skalar Multiplikation abgeschlossen und ist damit ein Unterraum von $Abb(K,K)$

Bemerkungen

• Das Nullpolynom ist definiert als

$0(x)\colon =0_{K}\cdot p(x)=0_{K}\cdot (\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{n}(0_{K}a_{i})x^{i}{\text{ für }}p\in K[x]$

• Es gelten, wie Du leicht zeigen kannst, folgende Inklusionen von Unterräumen:

$K_{0}[x]\subset K_{1}[x]\subset \ldots \subset K_{n}[x]\subset K[x]\subset Abb(K,K)$

• Sei $G$ die Menge aller Polynome mit genauem Grad $n\in \mathbb {N} {\text{; G}}$ ist kein Unterraum von $K[x]$, denn sei

$p(x)=x^{n}$ und $q(x)=-x^{n}+1$,

dann ist zwar $p{\text{ und }}q\in G$, aber die Summe

$p(x)+q(x)=x^{n}+(-x^{n}+1)=1\notin G$

Damit ist G bzgl. der Addition nicht abgeschlossen und damit kein Unterraum.

• Wir betrachten die Menge $U$ aller Polynome, die bei $1$ eine Nullstelle haben, und zeigen, dass $U$ ein Unterraum von $K_{n}(x)$ ist. Sei

$U=\lbrace p\in K_{n}[x]\,|\,p(1)=0\rbrace$,

dann ist $U\neq \emptyset$, denn für das Nullpolynom $O$ gilt $O(1)=0$ und damit ist $O\in U$. Weiter gilt für $p,q\in U\colon \,p(1)=q(1)=0$. Es ist $(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0$ und damit ist

$(p+q)\in U$.

Es gilt auch für alle Skalare $\alpha \in K$ und alle $p\in U$:

$(\alpha \cdot p)(1)=\alpha p(1)=\alpha 0=0$

und damit ist $\alpha \cdot p\in U$.

Damit sind die Unterraumaxiome nachgewiesen.

• Die Menge $W=\lbrace p\in K[x]\,|\,p(1)=1\rbrace$ ist kein Unterraum, denn das Nullpolynom ist kein Element von $W$, da laut Definition $O(x)=0$ für alle $x\in K$ und damit insbesondere $0(1)=0$.