Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Grundvorstellungen Determinante

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Abgrenzung Det=0 und Det \neq 0.

Det als Maß für die Skalierung eines Raums durch eine lienare Abbildung, z.B. gibt die Det das von den Bildern der Basisvektoren aufgespannte Parallelogramm (\R² ) bzw. Parallelepiped (\R³)an. det einer 2x2-Matrix ist gleich dem Skalarprodukt der Spaltenvektoren, wobei die e1-Komponente des zweiten Spaltenvektors mit -1 multipliziert wird. Det einer 3x3-Matrix entspricht dem Skalarprodukt des ersten Spaltenvektord mit dem Kreuzprodukt aus zweitem und drittem Spaltenvektor. Det <0 entspricht Veränderung der Orientierung des Raumes, z.B. Spiegelung (det=-1), während Drehungen durch Matritzen mit det =1 realisiert werden. Orthogonale Matritzen haben Determinante 1. Drehbewegung des starren Körpers kann durch Matritzen aus SO3 beschrieben werden, man kann keine Transformationen auf starre Körper anwenden, die det <= 0 haben, da man dann den starren Körper "durch sich selbst hindurch" verformen müsste. Wenn man einen Vektor mit negativem Faktor skaliert (det der entsprechenden 1x1-Matrix negativ, erhält man einen entgegengerichteten Vektor. Dies lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Alternative Motivation: Determinante als Mittel, um Eindeutigkeit der Lösung eines Gleichungssystems zu untersuchen, Determinante =0 entsprichrt Informationsverlust zwischen Ausgangsmenge und Bild der Ausgangsmenge

Abgrenzung Det <0 und Det >0, Die Mengen der Matritzen mit det<0 bzw. det>0 sind "zusammenhängend". Wenn man eine Matrix mit det >0 in eine Matrix mit det <0 stetig überführen will, muss man "auf dem Weg dorthin" eine Matrix mit det 0 erhalten.


Weitere Anwendungen:

Jacobi-Determinante, Satz von Liouville


Determinante als alternierende Multilinearform: Motivation der Multilinearität über Volumen/Fläche, Alterniertheit durch Wechsel der Raumorientierung veranschaulichen

Determinante des Produkts zweier Matritzen ist gleich dem Produkt der Determinanten.

Siehe auch: Grundvorstellungen zur linearen Algebra, Determinanten:

  • Einführung von Determinanten bei quadratischen Matrizen
    • Determinanten geben den (orientierten) Flächeninhalt eines Parallelogramms im , eines Spats (verzerrter Quader) im  und eines Parrallelotops im  an.
    • So kann man erklären, warum eine Determinante 0 ist, wenn die Vektoren linear abhängig zueinander sind.
    • Hat man ein Parallelogramm im  und nur zwei Vektoren und sind diese zueinander abhängig, so können diese kein Parallelogramm aufspannen und der Flächeninhalt ist 0. So wird jeder quadratischen Matrix eine Zahl zugeordnet.
  • Verallgemeinerung auf (nxn)-Matrizen
    • Darstellungsmatrix bei Gleichungssystemen
    • Determinante einer linearen Abbildung
    • Laplace Entwicklungssatz, Leibniz Summenformel
  • Determinante als Gruppenhomomorphismus, Determinante von Endomorphismen bleibt unter Basiswechsel erhalten -> Determinante charakterisiert die lineare Abbildung.
  • Aspekt: Quadratische Matrix inventierbar, wenn Determinate ungleich 0
  • Anmerkung: Determinaten von Dreiecksmatzen/Permutationsmatrizen haben eine einfache Gestalt. Rang ist genau dann voll, wenn auf der Hauptdiagnoalen keine Null steht. Dies ist äquivalent dafür, dass die das Produkt der Hauptdiagonalelemente ungleich Null ist.
  • Mögliche Anwendungen:
    • Volumenberechnung von Parrallelotopen
    • Cramersche Regel bei linearen Gleichungssystem
    • Vandermonde-Determinate bei Polynominterpolationen
  • Ein Versuch, die Orientierung intuitiv zu erklären und eine Vorstellung zu geben
    • Man betrachtet die Spaltenvektoren der Matrix und nummeriert sie der Reihenfolge nach durch. Jede Nummer bekommt eine Farbe, z.B. kann man den ersten Vektor immer rot färben, den zweiten blau usw. Jetzt betrachtet man das von den Vektoren aufgespannte Parallelepiped und lässt die Vektoren weiterhin gefärbt. Um festzustellen, ob zwei verschiedene Matrizen mit Determinante ungleich Null das gleiche Vorzeichen haben, führt man obige Anleitung mit beiden Matrizen durch. Wenn man es schafft, diese so zu verformen (natürlich stetig in der Zeit und dabei sind insbesondere Drehungen, Streckungen usw. erlaubt), dass beide immer ein echtes Volumen haben und sie anschließend deckungsgleich sind, haben sie die gleiche Determinante, sonst nicht. Dass die Einheitsmatrix positive Determinante hat, ist nur Konvention.
    • Das oben beschriebene Verfahren funktioniert, weil die invertierbaren Matrizen genau zwei Wegzusammenhangskomponenten haben.
    • evtl. Bezug zur Chiralität z.B. in der Chemie: rechte und linke Hand sind nicht deckungsgleich