Buchanfang lineare Algebra/Grundvorstellungen Summe, (konstruierte) direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Todos[Bearbeiten]

  • In den Kapitel vor der direkten Summe muss noch der Informationsbegriff des Vektorraums eingebracht werden ("Vektoren kodieren Information") -> Vektoren kodieren "zusammenhängende" Informationen oder so was in der Art
    • Todo: Wie hängt Vektorraumstruktur mit Information zusammen?
  • Wie ist die Informationsvorstellung bei Linearkombinationen, Spann, Erzeugnis, lineare Unabhängigkeit (=Redundanzfreiheit der Information), Basis vorhanden?
  • Abschnitte nach Linearkombinationen, Spann, etc...

Grundvorstellung[Bearbeiten]

  • Als Einführung in das Thema: Frage, wie aus zwei gegebenen Untervektorräumen eines Vektorraums ein neuer UVR konstruiert werden kann (Schnitt funktioniert, Vereinigung funktioniert nicht) --> Frage, die zu Summe führt: welche Vektoren müssen i.A. mindestens zur Vereinigung ergänzt werden, um UVR zu erhalten? (vgl. bestehender Artikel)
    • Gut als Einführung

2. Zwei Konzepte zu der der Summe und (inneren) direkten Summe mehrerer Untervektorräume eines K-Vektorraums V zugrundeliegenden Intuition (betonen jeweils Aspekte des Zusammenführens verschiedener UVR zu einem VR bzw. des Zerlegens des VR in verschiedene UVR unterschiedlich stark):

2.1. Analogie zwischen der Beziehung einzelner Vektoren und der Beziehung einzelner Untervektorräume (betont vor allem den Aspekt des Zusammenführens verschiedener UVR mithilfe der Summe/der (inneren) direkten Summe):

- korrespondiert zu

- ( Erzeugendensystem) korrespondiert zu (ggf. neue Nomenklatur: die UVR erzeugen den VR, die UVR sind komplett?)

- linear unabhängig korrespondiert zu Summe direkt

- Basis = direkte Summe, die den gesamten Vektorraum ergeben

(weiterführender Artikel nach der Einführung in Summe/direkte Summe/konstruierte direkte Summe: Erläuterung dieser Analogie)

2.2. (Ergänzend:) Zerlegung eines Vektorraums in direkte Summe von Untervektorräumen als Aussage über die Information, die in den UVR enthalten ist (Grundvorstellung des VR im Endlich-(n-)dimensionalen: jedes Element des Vektorraums als durch n Informationen charakterisiert)

- Unterschied konstruierte direkte Summe/direktes Produkt v. Gruppen/Intuition des "Nebeneinanderstellens"

- Zerlegung/Zusammenführen --> Intuition der Zerlegung mit VR als Information

2.3 Informationsbegriff und direkte Summe: Todo: ausarbeiten

Ausblick[Bearbeiten]

  • Quantenmechanik: Projektion auf Eigenraum -> Informationen gehen verloren

- Anwendung: Vereinfachung von Vektorräumen (Jordan-Normalform), ggf. VR in der Quantenmechanik (Zerlegung in direkte Summe v. Eigenräumen)