Buchanfang lineare Algebra 2/Projektionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:

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Einführung und Anschauung[Bearbeiten]

  • Wir haben im Artikel "LAI - Vektorraum:Summe und direkte Summe - Komplemente von Unterräumen" gesehen, dass man einen Vektorraum mit Unterraum zerlegen kann in eine direkte Summe aus und einem Komplement in (das Komplement ist nicht eindeutig)
  • Wir wollen Vektoren zerlegen in
  • Bild einer Zerlegung eines zweidimensionalen Vektors in zwei andere Vektoren
  • Verweis auf Linearkombinationen
  • Idee: einer der Zerlegungsvektoren wird vergessen/ weggeschmissen
  • Vergleich Schattenwurf. Der Vektor der vergessen wird ist die Richtung in die der Schatten fällt. Der Vektor der getroffen wird ist der Schatten, des Vektoren/"Punktes", der zerlegt wurde.
  • Dafür wollen wir eine lineare Abbildung, die uns zu einem das zugehörige ausgibt. (Eine Lineare Abbildung kann uns nicht und rausgeben)
  • Anders gesagt wollen wir einen Vektor aus dem großen Vektorraum reduzieren auf einen Vektor aus dem kleinen Vektorraum
  • Gesucht:
  • Beobachtung: Wenn unser schon aus U ist, also , dann ist die einzige mögliche Zerlegung in ein Element aus U und seinem Komplement W. Es folgt . Anders gesagt oder . Warum ist das das gleiche? Also ist sogar
  • Anders gesagt. Der Unterraum auf den wir abbilden wird von unserer Abbildung nicht verändert.

Welche Anforderungen wollen wir an eine Projektion stellen?

  • Wir wissen schonmal, dass , bzw. seien soll.
  • Wir wollen, dass eine Zerlegung in und ist, mit .
  • Beobachtung: , da unsere Abbildung Elemente nicht verändert. Stellen wir die gleichung um erfahren wir, dass . Unsere Abbildung soll also Elemente aus auf abbilden. Das ergibt auch Sinn, denn haben wir ein Element so ist die eindeutige Zerlegung in Elemente aus und . Es muss also .
  • Setzen wir diese beiden Sachen vorraus, so ist
  • Wir wollen zu einer Abbildung sagen können ob sie eine Projektion für irgendeine Zerlegung ist. Das heisst wir kennen und erstmal nicht
  • Wir haben oben schon gesagt, dass für eine Projektion auf einen Unterraum gelten muss . Also ist der einzige Kandidat für
  • Wir erinnern uns, dass es mehrere mögliche Komplimente zu in gibt.
  • Auf der anderen Seite muss für gelten . Also ist .
  • Hier wäre es nützlich schon die Definition der komplementären Projektion zu haben um die Zerlegung explizit angeben zu können.

Definition und Komplementäre Projektion[Bearbeiten]

  • Eine lineare Abbildung heist Projektion, falls , bzw. ist.

Dualität zur Direkten Summe[Bearbeiten]

Beispile[Bearbeiten]

  • Schattenwurf
  • Projektionen an die Leiwand sind keine Mathematischen Projektionen

Orthogonale Projektionen[Bearbeiten]

Projektionen Bestimmen[Bearbeiten]

Beispielaufgaben[Bearbeiten]