Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Direkte Summe

Direkte Summe und Dimensionsformel

Summe von Vektorräumen

Definition (Summe von Vektorräumen)

Sei $V$ ein K-Vektorraum und seien $U_{1};\,U_{2}$ Unterräume von $V$, so ist

$U_{1}+U_{2}=\lbrace u_{1}+u_{2}\,|\,u_{1}\in U_{1};\,u_{2}\in U_{2}\rbrace$

$U_{1}+U_{2}$ nennt man die Summe von $U_{1}$ und $U_{2}$

Es ist klar, dass $U_{1}+U_{2}=span(U_{1}\cup U_{2})$ ist, denn du kannst sehr leicht zeigen, dass $U_{1}+U_{2}\subseteq span(U_{1}\cup U_{2})$ und umgekehrt $span(U_{1}\cup U_{2})\subseteq U_{1}+U_{2}$

Lösung (Summe von Vektorräumen)

Ist $v\in U_{1}+U_{2}$ , dann existieren $u_{1}\in U_{1}$ und $u_{2}\in U_{2}$ mit $v=u_{1}+u_{2}\,\Rightarrow v\in span(U_{1}\cup U_{2})$ und damit ist $U_{1}+U_{2}\subseteq span(U_{1}\cup U_{2})$

Ist umgekehrt $v\in span(U_{1}\cup U_{2})$ , dann ist $v$ eine Linearkombination von Vektoren aus $U_{1}\cup U_{2}$ . Diese Linearkombination kann in der Form $v=u_{1}+u_{2}$ geschrieben werden, wobei $u_{1}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}a_{i};\,\beta _{i}\in K;\,a_{i}\in U_{1};\,k<n$ und $u_{2}=\sum _{i={1}}^{n}\gamma _{i}b_{i};\,\gamma _{i}\in K;\,b_{i}\in U_{2}$ jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus $U_{1}$ bzw. aus $U_{2}$ sind.
Da $U_{1},\,U_{2}$ Teilräume von $V$ sind, gilt $u_{1}\in U_{1}$ und $u_{2}\in U_{2}$ .
Also gilt $v=u_{1}+u_{2}\in U_{1}+U_{2}$ und damit ist $span(U_{1}\cup U_{2})\subseteq U_{1}+U_{2}$
Damit haben wir insgesamt $U_{1}+U_{2}=span(U_{1}\cup U_{2})$

Direkte Summe von Vektorräumen

Seien $U_{1};\,U_{2}$ Unterräume des K-Vektorraums ${\mathcal {U}}$ mit ${\mathcal {U}}=U_{1}+U_{2}$

Definition (Direkte Summe von Vektorräumen)

Die Summe der Vektorräume $U_{1}+U_{2}$ heißt direkt, wenn $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$ ist. Wir notieren die direkte Summe mit $U_{1}\oplus U_{2}$

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume $U_{1};\,U_{2}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Satz (Satz über Summen von Vektorräumen)

Seien $U_{1};\,U_{2}$ Teilräume eines K-Vektorraums $V$, und sei ${\mathcal {U}}=U_{1}+U_{2}$, dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist $u_{1}+u_{2}=0$ für $u_{1}\in U_{1};\,u_{2}\in U_{2}$ dann ist $u_{1}=u_{2}=0$

2. Für jedes $u\in {\mathcal {U}}$ ist die Darstellung $u=u_{1}+u_{2};\,u_{1}\in U_{1};\,u_{2}\in U_{2}$ eindeutig

3. $U_{1}\cap U_{2}=\lbrace 0\rbrace$

Beweis (Bedingungen Summe von Vektorräumen)

$1\,\Rightarrow \,2\colon$
Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von $u\in {\mathcal {U}}$, also $u=u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2}$ mit $u_{1};\,u'_{1}\in U_{1};\,u_{2};\,u'_{2}\in U_{2}$
Wir müssen also zeigen: $u_{1}=u'_{1}{\text{ und }}u_{2}=u'_{2}$
Wegen $u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2}\,\Rightarrow u_{1}-u'_{1}+u_{2}-u'_{2}=0$ , da aber $u_{1}-u'_{1}\in U_{1};\,u_{2}-u'_{2}\in U_{2}$ muss nach Bedingung 1 gelten $u_{1}-u'_{1}=0{\text{ und }}u_{2}-u'_{2}=0$ , damit ist aber $u_{1}=u'_{1}$ und $u_{2}=u'_{2}$

$2\,\Rightarrow \,3\colon$
Sei $u\in U_{1}\cap U_{2}$, wir müssen zeigen, dass dann $u=0$ gilt.
Es ist $u=u+0$ mit $u\in U_{1};\,0\in U_{2}$ und $u=0+u$ mit $0\in U_{1};\,u\in U_{2}$
Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von $u$ eindeutig und damit folgt $u=0$

$3\,\Rightarrow \,1\colon$
Sei $u_{1}+u_{2}=0$ mit $u_{1}\in U_{1};\,u_{2}\in U_{2}$; wir müssen nun zeigen $u_{1}=u_{2}=0$.
Da $u_{1}+u_{2}=0\,\Rightarrow u_{1}=-u_{2}\in U_{2}\,\Rightarrow u_{1}\in U_{1}\cap U_{2}\,\Rightarrow u_{1}=0$ und damit ist auch $u_{2}=0$

Bemerkungen

• Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe $U_{1}+U_{2}$ die direkte (innere) Summe und schreibt dafür ${\mathcal {U}}=U_{1}\oplus U_{2}$

• Seien $V;\,W$ zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: $V\oplus W\colon =\lbrace (v,w)\,|\,v\in V;\,w\in W\rbrace$, wobei die Addition und die Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Beispiel

Sei $V=\mathbb {R} ^{2}$ und $U_{1}=\lbrace (0,r)\,|\,r\in \mathbb {R} \rbrace =\{0\}\times \mathbb {R}$ und $U_{2}=\lbrace (s,0)\,|\,s\in \mathbb {R} \rbrace =\mathbb {R} \times \{0\}$. Dann ist $\mathbb {R} ^{2}=U_{1}\oplus U_{2}=\lbrace (s,r),|\,r,s\in \mathbb {R} \rbrace$ die direkte innere Summe, da $U_{1}\cap U_{2}=\lbrace (0,0)\rbrace =\{0_{\mathbb {R} ^{2}}\}$ .

Sei $V=\mathbb {R}$ und $W=\mathbb {R}$. Dann ist $\mathbb {R} ^{2}=\{(v,w)\,|\,v,w\in \mathbb {R} \}=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ die direkte äußere Summe. Analog ist $\mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } _{\text{n-Summanden}}$ eine direkte äußere Summe.

Dimensionsformel

Die Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume $U_{1};\,U_{2}$ eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums $V$ berechnen lässt.

Satz (Dimensionsformel)

Seien $V,\,W$ endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt:
$dim(V+W)=dimV+dimW-dim(V\cap W)$

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Wie wir schon im Kapitel Durchschnitt und Vereinigung von Vektorräumen gesehen haben, ist $V\cap W$ ein Teilvektorraum von $V$ und von $W$ .

Wir zeigen zunächst dass es eine Basis ${\mathfrak {B}}$ von $V+W$ gibt derart, dass $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ eine Basis von $V\cap W;\,\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ eine Basis von $V$ und $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\,\}$ eine Basis von $W$ ist. ${\mathfrak {B}}=\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ ist dann eine Basis von $V+W$. Es gilt dann $dim(V+W)=n+k+m;\,dim(V\cap W)=n;\,dimV=n+k;dimW=n+m$, damit gilt: $dim(V+W)=dimV+dimW-dim(V\cap W)$ denn $n+k+m=n+k+n+m-n$ .

Beweis (Dimensonsformel)

Sei $dim(V\cap W)=n;\,dimV=n+k;\,dimW=n+m$ und sei $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ eine Basis von $V\cap W$ . Da $V\cap W$ Teilraum von $V$ und Teilraum von $W$ , existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ und Vektoren $w_{1},\,\ldots ,w_{m}\in W$ , derart dass $\{b_{1},\,\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ eine Basis von $V$ und $\{b_{1},\ldots ,b_{n}.\,w_{1},\ldots w_{m}\}$ eine Basis von $W$ ist.

Wir zeigen nun, dass ${\mathfrak {B}}=\{b_{1},\ldots ,b_{n},v_{1},\ldots v_{k},\,w_{1},\ldots w_{m}\}$ eine Basis von $V+W$ ist. Als erstes zeigen wir, dass ${\mathfrak {B}}$ ein Erzeugendensystem ist, dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor $a\in V+W$ sich als Linearkombination von Elementen aus ${\mathfrak {B}}$ darstellen lässt.
Sei also $a\in V+W$ , damit gibt es ein $v\in V;\,w\in W$ mit $a=v+w$. Da $v$ eine Linearkombination der Basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ von $V$ ist, also $v=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\rho _{j}v_{j}$ und $w$ eine Linearkombination der Basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ von $W$ ist, also $w=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}w_{j}$ ,
und damit gilt $\colon {\text{ }}a=\sum _{i=1}^{n}(\beta _{i}+\gamma _{i})b_{i}+\sum _{J=1}^{K}\rho _{j}v_{j}+\sum _{l=1}^{m}\lambda _{l}w_{l}$.
Damit ist $a$ Linearkombination von $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ und ${\mathfrak {B}}$ ein Erzeugendensystem von $V+W$ .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von ${\mathfrak {B}}$

Sei $\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\rho _{j}v_{j}+\sum _{l=1}^{m}\lambda _{l}w_{l}=0$ (**)

Wir setzen jetzt $v=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\rho _{j}v_{j}$ . Dann gilt: $v\in V$ und wegen (**) $v=-\sum _{l=1}^{m}\lambda _{l}w_{l}$ . Damit ist auch $v\in W$ , also $v\in V\cap W$ .

Damit lässt sich $v$ als Linearkombination der Basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ von $V\cap W$ darstellen und es existieren $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}\in K$ , derart dass $v=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}$ .

Nun gilt weiter $0=v-v=\sum _{i=1}^{n}(\beta _{i}-\gamma _{i})b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\rho _{j}v_{j}$ .

Weil $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ eine Basis von $V$ ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Damit gilt $\beta _{1}=\gamma _{1},\,\beta _{2}=\gamma _{2},\cdots ,\beta _{n}=\gamma _{n},\,{\text{ und }}\rho _{1}=\rho _{2}=\cdots =\rho _{k}=0$ .

Also ist $\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{l=1}^{m}\lambda _{l}w_{l}=0$ . Da $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$ ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt $\beta _{1}=\beta _{2}=\,\cdots \,=\beta _{n}=0;{\text{ und }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\,\cdots \,=\lambda _{m}=0$ . Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,v_{1},\ldots ,v_{k},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ sind linear unabhängig.

Damit gilt nun $dim(V+W)=n+k+m;\,dim(V\cap W)=n;\,dimV=n+k;dimW=n+m$, also ist: $dim(V+W)=dimV+dimW-dim(V\cap W)$ denn $n+k+m=n+k+n+m-n$ .