Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Direkte Summe

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Direkte Summe und Dimensionsformel[Bearbeiten]

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition (Summe von Vektorräumen)

Sei ein K-Vektorraum und seien Unterräume von , so ist



nennt man die Summe von und

Es ist klar, dass ist, denn du kannst sehr leicht zeigen, dass und umgekehrt

Lösung (Summe von Vektorräumen)

Ist , dann existieren und mit und damit ist

Ist umgekehrt , dann ist eine Linearkombination von Vektoren aus . Diese Linearkombination kann in der Form geschrieben werden, wobei und jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus bzw. aus sind.
Da Teilräume von sind, gilt und .
Also gilt und damit ist
Damit haben wir insgesamt

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Seien Unterräume des K-Vektorraums mit

Definition (Direkte Summe von Vektorräumen)

Die Summe der Vektorräume heißt direkt, wenn ist. Wir notieren die direkte Summe mit

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume sind die folgenden Aussagen äquivalent[1].

Satz (Satz über Summen von Vektorräumen)

Seien Teilräume eines K-Vektorraums , und sei , dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist für dann ist

2. Für jedes ist die Darstellung eindeutig

3.

Beweis (Bedingungen Summe von Vektorräumen)


Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von , also mit
Wir müssen also zeigen:
Wegen , da aber muss nach Bedingung 1 gelten , damit ist aber und


Sei , wir müssen zeigen, dass dann gilt.
Es ist mit und mit
Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von eindeutig und damit folgt


Sei mit ; wir müssen nun zeigen .
Da und damit ist auch

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe die direkte (innere) Summe und schreibt dafür
  • Seien zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: , wobei die Addition und die Skalar Multiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei und und . Dann ist die direkte innere Summe, da .

Sei und . Dann ist die direkte äußere Summe. Analog ist eine direkte äußere Summe.

Dimensionsformel[Bearbeiten]

Die Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums berechnen lässt.[2]

Satz (Dimensionsformel)

Seien endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt:

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Wie wir schon im Kapitel Durchschnitt und Vereinigung von Vektorräumen gesehen haben, ist ein Teilvektorraum von und von .


Wir zeigen zunächst dass es eine Basis von gibt derart, dass eine Basis von eine Basis von und eine Basis von ist. ist dann eine Basis von . Es gilt dann , damit gilt: denn .

Beweis (Dimensonsformel)

Sei und sei eine Basis von . Da Teilraum von und Teilraum von , existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist. Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist, dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.
Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist, also und eine Linearkombination der Basis von ist, also ,
und damit gilt .
Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von

Sei (**)

Wir setzen jetzt . Dann gilt: und wegen (**) . Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass .

Nun gilt weiter .

Weil eine Basis von ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Damit gilt .

Also ist . Da eine Basis von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt . Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig.

Damit gilt nun , also ist: denn .

  1. https://lp.uni-goettingen.de/get/text/826
  2. http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_lineare_algebra/06_summen_und_direkte_summen.pdf