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K4: Verteilung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

4. Zufallsvariablen

4.2 Verteilung

Im Allgemeinen interessiert uns die Zufallsvariable selbst (d.h. als Funktion) nicht besonders, aber viel mehr die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in der Beziehung zur Zufallsvariable. Wenn X wieder das Alter eines beliebigen Deutsche vorstellt, interessiert uns möglicherweise die Wahrscheinlichkeit, ob die gewählte Person 18 Jahre alt oder älter ist, also die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis {s|X(s) ≥ 18}. Wir werden dieses Ergebnis kurz notieren als {X ≥ 18} und die Wahrscheinlichkeit davon als P(X ≥ 18). So auch für andere Ereignisse: so notieren wir z.B. P({s|45 < X(s) < 65}) kurz als P(45 < X < 65).

Definition 4.2.1

Es sei X eine Zufallsvariable und B eine Menge reeller Zahlen. Wir schreiben kurz {X∈B} für das Ereignis {s|X(s)∈B}, und P(X∈B) für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.

Beispiel 1 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Das Ereignis "die Gesamtaugenzahl (Z) ist 7" notieren wir als {Z=7} und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses als P(Z=7).

Genau wie in einem Experiment uns für die Theorie das zufällig eingetreten Ergebnis nicht interessiert, wohl aber alle mögliche Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten, ebenso wenig interessiert uns der zufällig wahrgenommenen Wert einer Zufallsvariable, wohl aber wieder alle mögliche Werte und deren Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel 2.

Die Zufallsvariable X stellt wieder das Alter eines beliebig gewählten Deutschen vor. Uns interessiert nicht, dass wir bei der Ausführung des Experiments Herrn Schmidt gewählt haben und dass Herr Schmidt 53 Jahre alt ist. Wir wollen wissen welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann, also in diesem fall 0 bis 140 und mit welche Wahrscheinlichkeit X einen solchen Wert annimmt, also wie groß z.B. P(X=53) ist. Wir nennen die Werte mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten die (Wahrscheinlichkeits)Verteilung des Alters X.

Definition 4.2.2

Unter dem Wertebereich S_X einer Zufallsvariable X verstehen wir die Menge aller möglichen Werte die X annehmen kann, also S_X = {X(s)|s∈S}

Die (Wahrscheinlichkeit)Verteilung einer Zufallsvariable X wird nun bestimmt durch die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedliche Werte von X, also durch die Wahrscheinlichkeiten P(X=x) für x ∈ S_X.

Definition 4.2.3

Unter der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stochastische Variable X verstehen wir die Funktion p_X: S_X → R definiert durch: p_X(x) = P(X=x).

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable X induziert ein Wahrscheinlichkeitsmaß P_X auf dem Wertebereich S_X von X. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß nennen wir die (Wahrscheinlichkeits)Verteilung von X. Wo es aber nicht zur Verwirrung führt, werden wir auch die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X gelegentlich mal mit (Wahrscheinlichkeits)Verteilung andeuten.

Definition 4.2.4

Die (Wahrscheinlichkeits)Verteilung einer Zufallsvariable X ist die Funktion P_X definiert für B ⊂ S_X durch:

P_{X}(B)=P(X\in B)=\sum _{x\in B}p_{X}(x)

.

De Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X einer Zufallsvariable X ist eine Wahrscheinlichkeit auf dem Wertebereich S_X; d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt die Axiomen Kolmogorovs. Die Struktur einer Zufallsvariable X mit Wertebereich S_X, Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X und zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion p_X, ist völlig analog an der Struktur eines Experiments mit Ergebnisraum S, Wahrscheinlichkeit P und zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion p. Durch die Zufallsvariable X wird die Wahrscheinlichkeitsstruktur des Experiments übergesetzt vom Wahrscheinlichkeitsraum (S,P) mit darauf die Zufallsvariable X nach dem Wahrscheinlichkeitsraum (S_X,P_X). In sofern es X betrifft sind beide Beschreibungen für das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten equivalent. Wir werden uns deshalb überwiegend mit Zufallsvariablen und ihren Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschäftigen, meistens gegeben in der Form einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Satz 4.2.1

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X einer Zufallsvariable X ist eine Wahrscheinlichkeit auf dem Wertebereich S_X von X.

Beispiel 3 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ wird gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p_{Z}$ . Wir berechnen mal:

p_{Z}(3)=P(Z=3)=P(\{(1,2),(2,1)\})=2/36

.

Auf gleicher Weise können wir $p_{Z}(z)=P(Z=z)$ für jede $z$ bestimmen. Das Ergebnis steht in der nächsten Tabelle:

$z$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Total
$P(Z=z)$	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	36/36

Wir können $p_{Z}$ auch als Formel geben:

p_{Z}(z)={\frac {(6-|7-z|)}{36}}

, für

z=2,3,\ldots ,12

.

Im Bild 4.1 ist die Verteilung von $Z$ gezeichnet.

						o
					o		o
				o				o
			o						o
		o								o
	o										o

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	$\rightarrow \ \ z$
Bild 4.1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z.

Definition 4.2.5

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion $\varphi _{X}$ einer Zufallsvariablen $X$ mit Verteilungsfunktion $P_{x}$ (teilweise auch als Erzeugendenfunktion bezeichnet) ist definiert als

$\varphi _{X}(t)=E(t^{X})=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)\cdot t^{n}$ .

Die Verteilung von $X$ wird durch die Angabe der Erzeugendenfunktion eindeutig charakterisiert: Setzt man $t=0$ , so verschwinden alle Terme der Summe in denen $n$ ungleich 0 ist. Dies führt für $n\geq 0$ zu der Aussage

$P(X=n)={\frac {\varphi _{X}^{(n)}(0)}{n!}}$ .

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist unter anderem hilfreich, wenn man sich für die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen interessiert, bei der es sich um die Summe unabhängiger Zufallszahlen handelt.

Satz 4.2.2

Ist $X=X_{1}+...+X_{n}$ eine Zufallszahl, die sich als Summe unabhängiger $\mathbb {N} _{0}$ -wertiger Zufallszahlen ergibt, so gilt

$\varphi _{X}(t)=\varphi _{X_{1}+...+X_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\cdot ...\cdot \varphi _{X_{n}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{X_{i}}(t)$ .