4. Zufallsvariablen

4.1 Einführung

Was können wir über das Alter eines "beliebigen" Deutschen sagen? Dazu betrachten wir den symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum mit S = {alle Deutsche}. Jeder Deutsche hat ein bestimmtes Alter, gemessen in ganzen Jahren, und wenn wir in diesem Modell beliebig einen Deutschen wählen und dessen Alter bestimmen, hängt die Zahl, die wir bekommen, deutlich vom Zufall ab. Wer gewählt wird hängt ja vom Zufall ab, also auch das gemessene Alter. Die Größe "Alter" ordnet jedem Ergebnis s eine reelle Zahl, X(s), zu. Das Alter X ist also eine Funktion auf S, wovon das Argument, und damit auch der Funktionswert von einem Zufallsmechanismus bestimmt werden.

Definition 4.1.1

Es sei S ein diskreter Ergebnisraum. Eine reelle Funktion, X: S → R, nennen wir eine (diskrete) Zufallsvariable, oder (diskrete) stochastische Variable.

Eine Zufallsvariable X ordnet also jedem Ergebnis s ∈ S eine reelle Zahl X(s) zu. In der Praxis bedeutet es, dass wir in einem Experiment durch den Zufall ein Ergebnis s bekommen und am Ergebnis noch ein Merkmal X(s) messen. Wenn s ein beliebiger Deutsche ist, können wir dessen Alter X, Gewicht G, die Anzahl dessen Kinder K, als Zufallsvariablen auffassen. Wir werden Zufallsvariablen im Allgemeinen großschreiben, oft mit der Buchstaben X, Y und Z, manchmal auch mit bedeutungsvollen Buchstaben, wie G für Gewicht, K für Kinderzahl, usw. Es wird sich zeigen, dass viele Experimente leicht mit einer oder mehreren Zufallsvariablen zu beschreiben sind.

Beispiel 1 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Wir werfen zweimal einen Würfel; S = {(s₁,s₂)| s₁, s₂ = 1,2,...,6}. Die Gesamtaugenzahl Z ist eine Zufallsvariable, definiert durch Z(s₁,s₂) = s₁ + s₂. Auch die Augenzahl X beim ersten Wurf ist eine Zufallsvariable X(s₁,s₂) = s₁.