Mathematik: Analysis: Anhänge: Alternative Herleitung über Analysis der endlichen Differenzen

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Endlicher Fall[Bearbeiten]

Es sei die Reihe gegeben:

Der n-te Term dieser Reihe ist gegeben durch Nun wie sehen jeweils die Differenzen der jeweiligen Terme aus?

Diese Werte berechnete man in dem man die "differenz" der Terme nimmt. Als Formel ausgedrückt:

Für jede Sequenz . Beispiele:

Diese Operation hat nun folgende Eigenschaften:

Der Operator ist Linear. Weiter gibt es die Produktregel:

Beispiele:

Eine gute Übung ist es die mit den üblichen bekannten Funktionen durchzuführen. Nun ist das wichtigste Resultat das fundamentale Theorem der abgeleiteten Sequenzen. Die Summe der abgeleiteten Sequenzen kann durch die ursprüngliche Sequenz gefunden werden.

Durch diese erstaunliche Formel kann man nun eine Summationsformel für jede Sequenz herleiten

Nun ist die zweite Differenz definiert als die differenz der differenzen:

So das:

Dies besagt:

Und so weiter für die dritte differenz usw.

Man kann beweisen das wenn zwei Sequenzen:

gleich haben, dann sind die zwei Sequenzen gleich weil beide nur gleich sein können wenn die ersten n-Terme gleich sind.

Infinitesimaler Fall[Bearbeiten]

Es sei eine Sequenz nun nicht nur an den Punkten 1,2,3 usw. definiert, sondern an einem feinen Gitter wobei die einzelnen Punkte zwischen einander entfernt liegen, so das der n-te Punkte sich bei befindet. Alle vorherigen Ideen lassen sich nun leicht übertragen, alles was man machen muss ist nur eine reskalierung um die Länge . In diesem Fall wird die Sequenz zu einer Funktion definiert an allen x Werten. Die abgeleitete Sequenz ist nun gegeben durch

Beispiel:

Was nur eine reskalierte Version der endlichen Version von ist. Der Punkt ist nun das wenn klein ist, und zwei mal kleiner gemacht wird, dann ist auch die abgeleitete Sequenz zwei mal so klein. Es liegt also eine lineare Abhängigkeit vor. Somit kann man schreiben

Beispiel:

Geteilt durch

Die Idee ist hier das so klein wird, das die Ableitung sich nicht mehr verändert. Formal wird es zu einer Prozedur. Etwas das man durch berechnen kann wird infinitesimal als das Limit beschreiben bei dem immer kleiner wird. Die infinitesimale Einheit wird nun mit bezeichnet, was eine "rundere" Version von darstellt. Die Ableitung kann nun berechnet werden von den endlichen Differenzen:

Die zweite Ableitung ist die differenz der differenz:

Dadurch kann man auch die dritte Differenz definieren und so weiter.

Die Eigenschaften der endlichen Differenzen übertragen sich nur simpel:

Die Kettenregel ist eine Regel für hintereinander ausgeführte Funktionen

Für endliche Sequenzen stimmt dies nicht. Aber im infinitesimalen Fall

Beispiel:

Weiter hin ist das Integral:

Das Integral bedeutet einfach

Die Summe über zwischen dem Interval und in kleinen Schritten.

Die Summen für analytische Funktionen können über die Gregory Reihe, oder auch Taylor Reihe genannt, bewiesen werden genau so für inverse Funktionen.