Mathematik: Analysis: Anhänge: Metrische Räume

Wichtige Beispiele Metrischer Räume

Die wichtigsten Metrischen Räume in der Mathematik, die man ständig verwendet, sind ${\mathbb {R} }$ und ${\mathbb {C} }$.
Ebenso sind sämtliche endlich dimensionalen Euklidische und Unitäre Vektorräume mit der Standardnorm metrisch.
Jede Menge wird mit Hilfe der Funktion $d(x,y)=1$ für $x\not =y$ und $d(x,y)=0$ für $x=y$ zu einem Metrischen Raum. Man spricht von DER diskreten Metrik, welche ebenfalls die diskrete Topologie erzeugt.

Lemma: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume $M:=M_{1}\times M_{2}\times M_{3}\times \cdots$ mit Metriken $d_{1},d_{2},d_{3},...$ und der Voraussetzung $sup\{d_{i}(a_{i},b_{i})\,|\,a_{i},b_{i}\in M_{i}\}<C\forall i$ für eine von i unabhängige Konstante C kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu $x,y\in M$ definiere: $d(x,y):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}}$
Beweis: Die drei Eigenschaften einer Metrik übertragen sich direkt, falls die Summen konvergieren und dies ist der Fall, da sie durch 2C nach oben abgeschätzt werden kann.

Lemma: Sie M ein metrischer Raum mit Metrik d(.,.). Dann definiert ${\overline {d}}(x,y):={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}$ ebenfalls eine Metrik mit $0\leq {\overline {d}}(x,y)\leq 1\quad \forall x,y\in M$

Bemerkung:Die Metriken sind sogar äquivalent, das heißt sie induzieren die gleichen offenen Mengen.

Satz: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume $M:=M_{1}\times M_{2}\times M_{3}\times \cdots$ mit Metriken $d_{1},d_{2},d_{3},...$ kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu $x,y\in M$ definiere: $d(x,y):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{2^{i}(1+d_{i}(x_{i},y_{i}))}}$