Mathematik: Analysis: Anhänge: Metrische Räume

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Wichtige Beispiele Metrischer Räume[Bearbeiten]

Die wichtigsten Metrischen Räume in der Mathematik, die man ständig verwendet, sind und .
Ebenso sind sämtliche endlich dimensionalen Euklidische und Unitäre Vektorräume mit der Standardnorm metrisch.
Jede Menge wird mit Hilfe der Funktion für und für zu einem Metrischen Raum. Man spricht von DER diskreten Metrik, welche ebenfalls die diskrete Topologie erzeugt.

Lemma: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume mit Metriken und der Voraussetzung für eine von i unabhängige Konstante C kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu definiere:
Beweis: Die drei Eigenschaften einer Metrik übertragen sich direkt, falls die Summen konvergieren und dies ist der Fall, da sie durch 2C nach oben abgeschätzt werden kann.

Lemma: Sie M ein metrischer Raum mit Metrik d(.,.). Dann definiert ebenfalls eine Metrik mit

Bemerkung:Die Metriken sind sogar äquivalent, das heißt sie induzieren die gleichen offenen Mengen.

Satz: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume mit Metriken kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu definiere: