Mathematik: Analysis: Differentialrechnung: Rechenregeln für Ableitungen

Ableitungsregeln

In der folgenden Tabelle seien $u,v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ reellwertige, hinreichend oft differenzierbare Funktionen von $x\,$ und $a\in \mathbb {R}$ eine beliebige Konstante.

Name	Regel	Bemerkung
Ableitung einer Konstanten	$(a)'=0\,$	Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Konstanter Vorfaktor	$(a\cdot u)'=au'$	Der Differentiationsoperator ist homogen.
Summenregel	$(u\pm v)'=u'\pm v'$	Die Differentiation ist linear.
Produktregel	$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$
Quotientenregel	$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$
Kettenregel	$(u\circ v)'(x)=(u(v(x)))'=u'(v(x))v'(x)$	Die Ableitung zweier verketteter Funktionen ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. Dies kann auch einfach auf die Verkettung von mehr als zwei Funktionen erweitert werden.
logarithmische Ableitung	$(\ln u)'={\frac {u'}{u}}$	Die logarithmische Ableitung folgt sofort aus der Kettenregel für den Logarithmus.

Ableitungen elementarer Funktionen

Funktion	Ableitungen	Erklärung zum Ableiten
$f(x)=x^{n}\,$	$f'(x)=nx^{n-1}\,$	Man setzt den Exponenten n vor die Variable x bzw. man multipliziert beide miteinander. Von dem Exponenten wird 1 subtrahiert.
$f(x)=a\cdot x^{n}+b\,$	$f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}\,$	Gleiche Vorgehensweise wie oben, der Exponent n wird hier nur noch mit dem Faktor a multipliziert und der Summand der mit keinem x multipliziert wird, fällt einfach weg.
$f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$	$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$	Bei ${\sqrt {x}}$ kommt der Term einfach in den Nenner, welcher gleichzeitig den Wert 2 annimmt.
$f(x)=e^{x}\,$	$f'(x)=e^{x}\,$ $f''(x)=e^{x}\,$	Egal wie oft man $e^{x}\,$ ableitet, es bleibt immer gleich!
$f(x)=\sin x\,$	$f'(x)=\cos x\,$	Die Ableitung des Sinus von $x\,$ ist einfach der Kosinus von $x\,$.
$f(x)=\cos x\,$	$f'(x)=-\sin x\,$	Die Ableitung des Kosinus von $x\,$ ist der negative Sinus von $x\,$.
$f(x)=\tan x\,$	$f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$
$f(x)=a^{x}(a>0;a\neq 1)\,$	$f'(x)=a^{x}\cdot \ln a={\frac {a^{x}}{\log _{a}e}}\,$ $f''(x)=a^{x}\cdot \ln a\cdot \ln a\,$
$f(x)=\ln x\,$	$f'(x)={\frac {1}{x}}$ $f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$
$f(x)=\log _{a}x\,$ $(a>0;a\neq 1;x>0)\,$	$f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln a}}\,$ $f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\cdot \ln a}}$	Der Exponent von $x\,$ steigt mit jeder Ableitung weiter an.
$f(x)=\arcsin x\,$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ $f''(x)={\frac {x}{(1-x^{2})\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$f(x)=\arccos x\,$	$f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ $f''(x)={\frac {-x}{(1-x^{2})\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$f(x)=\arctan x\,$	$f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ $f''(x)={\frac {-2x}{(1+x^{2})^{2}}}$