Mathematik: Analysis: Konvergenz von Folgen

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Einleitung[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Folge in einem metrischen Raum . Bei Folgen sollte man die geschweiften Mengenklammern gerade nicht verwenden, sondern runde Klammern. heißt konvergent gegen den Grenzwert , wenn gilt: .

Eine Folge mit dem Grenzwert nennt man eine Nullfolge.

Cauchyfolgen[Bearbeiten]

Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: .

Vollständigkeit[Bearbeiten]

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig.

Beispiel: Der Raum der reellen Zahlen ist vollständig. Der Raum der rationalen Zahlen hingegen nicht. Betrachtet man z.B. die Folge mit , so ist offensichtlich jedes Folgenglied in . Der Grenzwert ist jedoch mit der eulerschen Zahl e.