Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

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Einleitung[Bearbeiten]

Die Folge der Partialsummen der Reihe sei . Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn .

Der Grenzwert von wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: .

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Cauchykriterium[Bearbeiten]

Eine Reihe konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Majorantenkriterium[Bearbeiten]

Gegeben sei die Reihe . Die Reihe heißt Majorantenreihe zu , falls . Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen müssen kleineren Betrags als sein. Nämlich jene für die gilt .

Wenn eine Majorantenreihe konvergiert, so ist auch die Reihe konvergent.

Beispiele[Bearbeiten]

erstes Beispiel[Bearbeiten]

ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch .

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn , so dass gilt:

Beispiele[Bearbeiten]

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn mit

Beispiele[Bearbeiten]

Leibnizkriterium[Bearbeiten]

Reihen mit heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit .

Dann konvergiert die Reihe.

Beispiele[Bearbeiten]

(Reihe alterniert)

, also (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

Integraltest[Bearbeiten]

Sei , wobei stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

Beispiel[Bearbeiten]

konvergiert, da monoton fallend ist und