Mathematik: Analysis: Stetigkeit: Folgenstetigkeit

2. Folgenstetigkeit

Unter Verzicht auf solche Funktionen, deren Definitionsmenge isolierte Punkte enthält oder nur aus isolierten Punkten besteht, kann man die Stetigkeit auch noch anders fassen.

Satz - Folgenkriterium für (lokale) Stetigkeit

Eine Funktion $f:D_{f}\to \mathbb {R}$ ist stetig bei $a$ genau dann, wenn Folgendes gilt:

$a\in D_{f}$, außerdem $a$ Häufungspunkt von $D_{f}$, und für jede Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, deren Glieder in $D_{f}$ liegen und deren Grenzwert $a$ ist, existiert $\lim _{n\to \infty }f(a_{n})$ und ist gleich $f(a)$.

Verkürzt formuliert besagt das Folgenkriterium, dass im Stetigkeitsfall Limesbildung und Funktionswertberechnung vertauschbar sind:

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(\lim _{n\to \infty }a_{n})=f(a).$

Falls es sich um eine Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ handelt, so ist in der Definition der (lokalen) Stetigkeit anstatt des Betrages die jeweils für $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {R} ^{m}$ zugrunde gelegte Norm zu verwenden.

Oft ist es so, dass für einen lokalen Stetigkeitsnachweis das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium geeignet ist, für einen Nachweis der Unstetigkeit an einer Stelle jedoch das Folgenkriterium bequemer zu handhaben ist.