Mathematik: Diskrete Mathematik: Mengenlehre

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Definition[Bearbeiten]

Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.

  • Zahlen
  • Buchstaben
  • Farbe
  • Figuren
  • Namen

Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.

Darstellungen[Bearbeiten]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

  • graphisch mit Hilfe von Mengenbildern
  • in aufzählender Form:


  • in beschreibender Form:


Elemente[Bearbeiten]

Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
(lies "x ist Element von A") bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.

X element aus a.png

(lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.

X nicht element aus a.png

Beispiel:

Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.

Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !

Gleichheit[Bearbeiten]

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente beinhalten. Beim Aufzählen von Mengen zählt weder die Reihenfolge der einzelnen Elemente, noch die Anzahl der gleichen Elemente.

Mächtigkeit[Bearbeiten]

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiele:




Bei unendlichen Mengen hat wird der Anzahlbegriff problematisch; die Mächtigkeit wird durch ein Symbol ausgedrückt, das ausdrücklich keine Zahl im arithmetischen Sinne ist. Für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen schreibt man


(gesprochen aleph null).

Aus Mengen gebildete Mengen[Bearbeiten]

  • Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet.
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  • Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.


Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge:
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  • Die Schnittmenge: Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die gleichzeitig in der Menge A und B enthalten ist.


Schnittmenge.png

  • Die Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind.


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  • Die Differenzmenge: Die Differenzmenge beinhaltet alle Elemente, die in A aber nicht in B enthalten sind.


Differenzmenge.png

Rechenregeln für Mengenoperationen[Bearbeiten]

Für beliebige Mengen gelten die folgenden Rechenregeln

  • Kommutativgesetze
  • Assoziativgesetze
  • Distributivgesetze
  • Absorptionsgesetze
  • Idempotenzgesetze
  • De Morgansche Regel

Relationen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sind die Mengen und endliche, nicht leere Mengen, so heißt (binäre) Relation zwischen A und B.