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Mathematik: Diskrete Mathematik: Mengenlehre

Aus Wikibooks


Definition

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Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.

  • Zahlen
  • Buchstaben
  • Farbe
  • Figuren
  • Namen

Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.

Darstellungen

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

  • graphisch mit Hilfe von Mengenbildern
  • in aufzählender Form:


  • in beschreibender Form:


Elemente

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Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
(lies "x ist Element von A") bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.

(lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.

Beispiel:

Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.

Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !

Gleichheit

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Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente beinhalten. Beim Aufzählen von Mengen zählt weder die Reihenfolge der einzelnen Elemente, noch die Anzahl der gleichen Elemente.

Mächtigkeit

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Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiele:




Bei unendlichen Mengen hat wird der Anzahlbegriff problematisch; die Mächtigkeit wird durch ein Symbol ausgedrückt, das ausdrücklich keine Zahl im arithmetischen Sinne ist. Für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen schreibt man


(gesprochen aleph null).

Aus Mengen gebildete Mengen

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  • Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet.
    Datei:Teilmenge.png
  • Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.


Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge:
Datei:Menge aller teilmengen.png

  • Die Schnittmenge: Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die gleichzeitig in der Menge A und B enthalten ist.


  • Die Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind.


Datei:Vereinigungsmenge.png

  • Die Differenzmenge: Die Differenzmenge beinhaltet alle Elemente, die in A aber nicht in B enthalten sind.


Rechenregeln für Mengenoperationen

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Für beliebige Mengen gelten die folgenden Rechenregeln

  • Kommutativgesetze
  • Assoziativgesetze
  • Distributivgesetze
  • Absorptionsgesetze
  • Idempotenzgesetze
  • De Morgansche Regel

Relationen

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Definition

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Sind die Mengen und endliche, nicht leere Mengen, so heißt (binäre) Relation zwischen A und B.