Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Eigenwerte und Eigenvektoren sind ein fundamentales Werkzeug zur Untersuchung von Matrizen.

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir folgendes Beispiel:

Sei und ,

Was passiert, wenn wir und betrachten?

Bemerkenswert ist, dass

.

Wenn wir also die Matrix mit dem Vektor multiplizieren, erhalten wir keinen anderen, sondern denselben Vektor multipliziert mit einer Konstante (gestreckt). Für gilt das Gleiche. Wir nennen 1 und -2 die Eigenwerte der Matrix , und heißen Eigenvektoren der Matrix .

Definitionen[Bearbeiten]

Dieses Konzept verallgemeinern wir nun. Das Produkt einer Matrix mit dem Vektor soll dasselbe ergeben wie die Multiplikation von einem Skalar mit dem Vektor. Wenn wir eine -Matrix haben, suchen wir Eigenvektoren und Eigenwerte , die folgende Gleichung erfüllen:

Wie funktioniert dies?

Wir formen die Gleichung um

Hierbei muss der Skalar mit der Einheitsmatrix multipliziert werden. ist eine Matrix. Wir setzen und lösen die Gleichung . Die Lösung ist der Kern von . Die Eigenvektoren sind also der Kern von , wobei ein Eigenwert ist. Wie finden wir nun die Eigenwerte?

Es gilt: hat eine nicht-triviale Lösung, falls . Um also die Eigenwerte zu finden setzen wir und lösen nach auf. Wir erhalten ein Polynom, das charakteristische Polynom.

Beachte, dass die Null als Eigenvektor ausgeschlossen ist, weil sie trivialerweise eine Lösung der Gleichung ist. Außerdem erhalten wir dadurch unendliche viele Eigenwerte, weil jeder Wert die Gleichung erfüllt. Wenn wir einen Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor gefunden haben, dann ist jedes Vielfache von ebenfalls ein Eigenvektor für diesen Eigenwert. Um dies zu sehen, betrachten wir folgendes: Falls gilt, dann gilt:

.

Beachte: Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann.

Das Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren[Bearbeiten]

Hier sind ein paar Beispiele wie man mit Hilfe unserer Definitionen Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt:

Sei

Zuerst bestimmen wir die Eigenwerte

Die Lösungen dieser Gleichung sind 3 und 2 und dies sind auch unsere Eigenwerte. Nun suchen wir die zugehörigen Eigenvektoren. Betrachten wir also zunächst den Eigenwert . Um unseren ersten Eigenvektor zu finden berechnen wir:

Beobachte nun:

Anders geschrieben, die Menge der Eigenvektoren der Matrix enthält . In der Ebene ist dies die Gerade durch den Ursprung mit der Steigung -1. Wie schon beschrieben gibt es für jeden Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Wir dürfen uns einen davon auswählen. In diesem Fall nehmen wir den Vektor . Betrachten wir nun den Eigenwert und gehen analog vor:

Also erhalten wir als zweiten Eigenvektor

Unsere Eigenwerte sind mit den Eigenvektoren . Dies kann man überprüfen, indem man die gegebene Matrix mit den Vektoren multipliziert. Also:

und

Aufgaben[Bearbeiten]

Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren zu den folgenden Matrizen. c