Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Basen

Allgemeine Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Grundkörper $K$. Eine Teilmenge $B\subset V$ heißt Basis des Vektorraums $V$, falls $B$ die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. $B$ ist linear unabhängig, d.h. für jeweils endlich viele Elemente $v_{1},...,v_{n}\in B$ und $a_{1},...,a_{n}\in K$ gilt die Äquivalenz: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}v_{k}=0\Leftrightarrow a_{k}=0$ für alle $1\leq k\leq n.$

2. Ist $w\in V\setminus B$, dann ist $B\cup \{w\}$ linear abhängig, d.h. es existieren $v_{1},...,v_{n}\in B$ sowie Koeffizienten $a_{0},a_{1},...,a_{n}\in K$, die nicht alle den Wert $0$ haben dürfen, mit $a_{0}w+\sum _{k=1}^{n}a_{k}v_{k}=0$.

Satz: Jeder $K$-Vektorraum $V$ besitzt eine Basis!

Beweis (Mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn):

Wir betrachten dazu die Menge ${\mathfrak {M}}$ der linear unabhängigen Teilmengen $T\subset V$ mit der Halbordnung $\subseteq$. Als Teilmenge der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}(V)$ ist ${\mathfrak {M}}$ eine Menge. Da die leere Menge linear unabhängig ist, existiert für jeden Vektorraum $V$ mindestens ein solches $T$, d.h. ${\mathfrak {M}}\neq \emptyset$.

Ist nun $K$ eine Kette in ${\mathfrak {M}}$ bezüglich $\subseteq$, setzen wir $B:=\bigcup _{T\in K}T$ und erhalten wiederum eine linear unabhängige Teilmenge von $V$, da für endlich viele $v_{1},...,v_{n}\in B$ gilt:

Zu jedem Index $1\leq k\leq n$ existiert ein $T_{k}\in K$ mit $v_{k}\in T_{k}$ und daher $\{v_{1},...,v_{n}\}\subset \bigcup _{k=1}^{n}T_{k}$. Da aber $K$ eine Kette (total geordnet) ist, existiert dann ein Index $k_{0}\in \{1,2,...,n\}$ mit $\bigcup _{k=1}^{n}T_{k}=T_{k_{0}}$, also $\{v_{1},...,v_{n}\}\subset T_{k_{0}}$ und damit ist $\{v_{1},...,v_{n}\}\subset V$ linear unabhängig.

Damit ist gezeigt, daß $B\in {\mathfrak {M}}$ und offensichtlich ist $T\subseteq B$ für alle $T\in K$, also ist $B$ eine obere Schranke für $K$. Nach dem erwähnten Lemma von Zorn bzw. Kuratowski folgt die Existenz eines maximalen Elementes $M\in {\mathfrak {M}}$, d.h. einer linear unabhängigen Teilmenge von $V$, die keine Erweiterung im Sinne von 2. möglich ist. Damit ist $M$ eine Basis von $V$. Q.E.D.