Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Basen

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Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über dem Grundkörper . Eine Teilmenge heißt Basis des Vektorraums , falls die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. ist linear unabhängig, d.h. für jeweils endlich viele Elemente und gilt die Äquivalenz: für alle

2. Ist , dann ist linear abhängig, d.h. es existieren sowie Koeffizienten , die nicht alle den Wert haben dürfen, mit .

Satz: Jeder -Vektorraum besitzt eine Basis!

Beweis (Mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn):

Wir betrachten dazu die Menge der linear unabhängigen Teilmengen mit der Halbordnung . Als Teilmenge der Potenzmenge ist eine Menge. Da die leere Menge linear unabhängig ist, existiert für jeden Vektorraum mindestens ein solches , d.h. .

Ist nun eine Kette in bezüglich , setzen wir und erhalten wiederum eine linear unabhängige Teilmenge von , da für endlich viele gilt:

Zu jedem Index existiert ein mit und daher . Da aber eine Kette (total geordnet) ist, existiert dann ein Index mit , also und damit ist linear unabhängig.

Damit ist gezeigt, daß und offensichtlich ist für alle , also ist eine obere Schranke für . Nach dem erwähnten Lemma von Zorn bzw. Kuratowski folgt die Existenz eines maximalen Elementes , d.h. einer linear unabhängigen Teilmenge von , die keine Erweiterung im Sinne von 2. möglich ist. Damit ist eine Basis von . Q.E.D.