Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Dimension

Endliche Dimension

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $B_{1}:=\{v_{1},...,v_{m}\}\subset V$ und $B_{2}:=\{w_{1},...,w_{n}\}\subset V$ Basen von $V$. Dann ist $m=n$, d.h. falls ein Vektorraum $V$ eine endliche Basis besitzt, dann besteht jede weitere Basis des Vektorraumes aus derselben Anzahl von Vektoren aus $V$. Die somit eindeutig bestimmte natürliche Zahl $n$ heißt Dimension des Vektorraumes.

Es ist aber keineswegs gegeben, dass ein Vektorraum endliche Dimension hat. In der Mathematik geht man, wie Sie sicherlich wissen, sehr gerne mit Extremen um; so auch mit extrem hohen (also unendlichen) Dimensionen. In der Praxis spielen sie jedoch keine Rolle, da über sie kaum Aussagen zu treffen sind.