Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Der Dualraum

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Dualraum[Bearbeiten]

Der Dualraum gehört zu den fortgeschrittenen Themen der linearen Algebra. Es ist daher empfehlenswert diesen Abschnitt beim ersten Durchlesen des Buches zu überspringen und später nochmal hierher zurück zu kehren.

Sei im Folgenden ein Körper, und -Vektorräume. Die Menge der Homomorphismen von nach bezeichnen wir mit bzw. kurz mit wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist. Mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch

ist wieder ein Vektorraum. Damit können wir den Dualraum definieren.

Definition
Sei ein -Vektorraum. Dann ist der Dualraum definiert als .
Bemerkung
  • Eine andere Bezeichnung für den Vektorraum ist auch .
  • Man kann den Dualraum zwar sowohl für endlich als auch für unendlich dimensionale Vektorräume definieren, wir konzentrieren uns im folgenden aber auf den endlich dimensionalen Fall. Dualräume für unendlich dimensionale Vektorräume spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Es braucht jedoch zusätzliche Voraussetzungen um eine anständige Theorie entwickeln zu können.
Satz
Sei ein -Vektorraum der Dimension , dann ist isomorph zu seinem Dualraum
Beweis
Wir wählen uns eine Basis von und definieren dazu
Dies ist ausreichend um eine lineare Abbildung zu definieren. Ist nämlich so lässt sich in der Basis entwickeln durch mit . Aus der Forderung nach Linearität von folgt
Man rechnet leicht nach, dass tatsächlich linear sind.
Wir wollen nun zeigen, dass diese Vektoren eine Basis von bilden. Wir beginnen mit der linearen Unabhängigkeit. Sei dazu . Wir betrachten die Gleichung
Beachte: Wir behaupten, dass die Summe auf der linken Seite die Nullabbildung ist. Das heißt, dass die linke Seite für jedes , das wir einsetzen, Null ergibt.
Wir setzen nun also nacheinander alle Basisvektoren in die Gleichung ein. Wegen der Voraussetzung an bleibt von der Gleichung nur übrig. Die Vektoren sind also linear Unabhängig.
Um zu zeigen, dass die den Dualraum erzeugen geben wir uns eine beliebiges vor. Wir wollen zeigen, dass sich dieses mit Hilfe unserer Vektoren dastellen lässt. Dazu verwenden wir die Darstellung von von oben:
Wir können für jedes den Ausdruck hinzufügen. Dieser ist nach Voraussetzung an gleich Null. Damit können wir wieder zusammenfügen:
Das bedeutet also .
Durch ist eine Abbildung definiert, die die Basis auf eine Basis abbildet. Die Abbildung ist also ein Isomorphismus.

Achtung: Der im vorherigen Beweis definierte Isomorphismus ist abhängig von der Wahl der Basis!

Beispiel: Wir wählen als Vektorraum und als Basis die Standardbasis . Für die dazugehörigen Homomorphismen gilt:

  
  
  .
Ersetzen wir durch so bleiben die ersten zwei Zeile gleich, jedoch ändert sich die letzte:
  
  
  

Die zu einem Vektor gehörende Abbildung nach obigen Beweis wird auch die duale Abbildung zu gennant. Wir bezeichnen diese im folgenden mit .


Haben wir zusätzlich ein Skalarprodukt zur verfügung, so können wir einen Isomorphismus angeben, der unabhängig von der Basis des Vektorraums ist

Satz

Ist ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt so wird durch

ein Isomorphismus zwischen und definiert.

Beweis
Wegen der bilinearität des Skalarprodukts ist für festes die Abbildung . Wir wählen nun eine Orthonormalbasis von . Die Abbildungen entsprechen gerade den dualen Abbildungen und bilden damit nach obigen Satz eine Basis von . Hieraus folgt die Behauptung.

Bemerkung: Für unendlich dimensionale Hilberträume gibt es mit dem Satz von Fischer-Riesz eine analoge Aussage. Hierfür benötigt man aber noch, dass der Vektorraum vollständig ist!