Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Der Dualraum

Dualraum

Der Dualraum gehört zu den fortgeschrittenen Themen der linearen Algebra. Es ist daher empfehlenswert, diesen Abschnitt beim ersten Durchlesen des Buches zu überspringen und später nochmal hierher zurück zu kehren.

Sei $K$ im Folgenden ein Körper, $V$ und $W$ $K$-Vektorräume. Die Menge der Homomorphismen von $V$ nach $W$ bezeichnen wir mit $Hom_{K}(V,W)$ bzw. kurz mit $Hom(V,W)$ wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist. Mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch

• $(\varphi +\psi )(x):=\varphi (x)+\psi (x),\ \varphi ,\psi \in Hom(V,W)$
• $(\lambda *\varphi )(x):=\lambda *\varphi (x),\ \varphi \in Hom(V,W),\lambda \in K$

ist $Hom(V,W)$ wieder ein Vektorraum. Damit können wir den Dualraum definieren.

Definition

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann ist der Dualraum $V^{*}$ definiert als $V^{*}:=Hom(V,K)$.

Bemerkung

• Eine andere Bezeichnung für den Vektorraum ist auch $V'$.
• Man kann den Dualraum zwar sowohl für endlich als auch für unendlich dimensionale Vektorräume definieren, wir konzentrieren uns im folgenden aber auf den endlich dimensionalen Fall. Dualräume für unendlich dimensionale Vektorräume spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Es braucht jedoch zusätzliche Voraussetzungen um eine anständige Theorie entwickeln zu können.

Satz

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n<\infty$, dann ist $V$ isomorph zu seinem Dualraum $:V^{*}$

Beweis

Wir wählen uns eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und definieren dazu

$\varphi _{i}(v_{j})=\delta _{ij},\;i,j=1\ldots n.$

Dies ist ausreichend um eine lineare Abbildung zu definieren. Ist nämlich $w\in V$ so lässt sich $w$ in der Basis entwickeln durch $w=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ mit $\lambda _{i}\in K$. Aus der Forderung nach Linearität von $\varphi _{j}$ folgt

$\varphi _{j}(w)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi _{j}(v_{i})=\lambda _{j}\varphi _{j}(v_{j})=\lambda _{j}.$

Man rechnet leicht nach, dass $\varphi _{1},\ldots \varphi _{n}$ tatsächlich linear sind.

Wir wollen nun zeigen, dass diese Vektoren eine Basis von $V^{*}$ bilden. Wir beginnen mit der linearen Unabhängigkeit. Sei dazu $\lambda _{1},\ldots \lambda _{n}\in K$. Wir betrachten die Gleichung

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi _{i}=0$

Beachte: Wir behaupten, dass die Summe auf der linken Seite die Nullabbildung ist. Das heißt, dass die linke Seite für jedes $v\in V$, das wir einsetzen, Null ergibt.

Wir setzen nun also nacheinander alle Basisvektoren $v_{i}$ in die Gleichung ein. Wegen der Voraussetzung an $\varphi _{j}$ bleibt von der Gleichung nur $\lambda _{i}=0$ übrig. Die Vektoren sind also linear Unabhängig.

Um zu zeigen, dass die $\varphi _{j}$ den Dualraum erzeugen geben wir uns eine beliebiges $\psi \in V^{*}$ vor. Wir wollen zeigen, dass sich dieses mit Hilfe unserer Vektoren darstellen lässt. Dazu verwenden wir die Darstellung von $w\in V$ von oben:

$\psi (w)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\psi (v_{i})=\sum _{i=1}^{n}\psi (v_{i})\lambda _{i}\varphi _{i}(v_{i}).$

Wir können für jedes $i=1,\ldots n$ den Ausdruck $\sum _{j\neq i}\psi (v_{i})\lambda _{j}\varphi _{i}(v_{j})$ hinzufügen. Dieser ist nach Voraussetzung an $\varphi _{i}$ gleich Null. Damit können wir $w$ wieder zusammenfügen:

$\psi (w)=\sum _{i=1}^{n}[\psi (v_{i})\varphi _{i}(\lambda _{i}v_{i})+\sum _{j\neq i}\psi (v_{i})\varphi _{i}(\lambda _{j}v_{j})]=\sum _{i=1}^{n}\psi (v_{i})\varphi _{i}(w).$

Das bedeutet also $\psi =\sum _{i=1}^{n}\psi (v_{i})\varphi _{i}$.

Durch $v_{i}\mapsto \varphi _{i}$ ist eine Abbildung definiert, die die Basis $v_{i}$ auf eine Basis $\varphi _{i}$ abbildet. Die Abbildung ist also ein Isomorphismus.

Achtung: Der im vorherigen Beweis definierte Isomorphismus ist abhängig von der Wahl der Basis!

Beispiel: Wir wählen als Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ und als Basis die Standardbasis $e_{1},e_{2},e_{3}$. Für die dazugehörigen Homomorphismen gilt:

  $\varphi _{1}(e_{1})=1\ \varphi _{2}(e_{1})=0\ \varphi _{3}(e_{1})=0$
  $\varphi _{1}(e_{2})=0\ \varphi _{2}(e_{2})=1\ \varphi _{3}(e_{2})=0$
  $\varphi _{1}(e_{3})=0\ \varphi _{2}(e_{3})=0\ \varphi _{3}(e_{3})=1$.

Ersetzen wir $e_{3}$ durch $e_{2}+e_{3}$ so bleiben die ersten zwei Zeile gleich, jedoch ändert sich die letzte:

  $\varphi _{1}(e_{3})=\varphi _{1}(e_{2}+e_{3})-\varphi _{1}(e_{2})=0$
  $\varphi _{2}(e_{3})=\varphi _{2}(e_{2}+e_{3})-\varphi _{2}(e_{2})=-1$
  $\varphi _{3}(e_{3})=\varphi _{3}(e_{2}+e_{3})-\varphi _{3}(e_{2})=1$

Die zu einem Vektor $v\in V$ gehörende Abbildung nach obigen Beweis wird auch die duale Abbildung zu $v$ genannt. Wir bezeichnen diese im folgenden mit $v^{*}$.

Haben wir zusätzlich ein Skalarprodukt zur verfügung, so können wir einen Isomorphismus angeben, der unabhängig von der Basis des Vektorraums ist

Satz

Ist $V$ ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt $<\cdot ,\cdot >$ so wird durch

$v\mapsto <v,\cdot >$

ein Isomorphismus zwischen $V$ und $V^{*}$ definiert.

Beweis

Wegen der Bilinearität des Skalarprodukts ist für festes $v\in V$ die Abbildung $\ <v,\cdot >\in V^{*}$. Wir wählen nun eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots v_{n}$ von $V$. Die Abbildungen $<v_{1},\cdot >,\ldots <v_{n},\cdot >$ entsprechen gerade den dualen Abbildungen $v_{1}^{*},\ldots v_{n}^{*}$ und bilden damit nach obigen Satz eine Basis von $V^{*}$. Hieraus folgt die Behauptung.

Bemerkung: Für unendlich dimensionale Hilberträume gibt es mit dem Satz von Fischer-Riesz eine analoge Aussage. Hierfür benötigt man aber noch, dass der Vektorraum vollständig ist!