Mathematik: Schulmathematik: Logarithmieren

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Einführung[Bearbeiten]

In den vorherigen Kapiteln ging es auch um das Potenzieren und Wurzelziehen. Im Wesentlichen drehte es sich bei den Berechnungen dabei um den Potenzwert und die Basis. Aber was ist, wenn wir den Exponenten berechnen wollen? Genau diese Frage stellt sich die Mathematik des Logarithmierens.
Ein Beispiel soll das verdeutlichen :

Bisher stellten wir uns lediglich die Frage, was ist ? Nämlich 100! 
Ebenfalls fragten wir uns, was ist ? In diesem Fall die 10!
In diesem Kapitel wollen wir uns aber mit folgender Frage beschäftigen:
Welcher Exponent gehört zur Basis, in unserem Fall der 10, damit 100 rauskommt?

Dieses mathematische Problem ist also mit dem Logarithmus zu lösen. Mathematisch geschrieben, sähe die Fragestellung so aus:

?

Wenn man statt des Fragezeichens wie üblich ein x schreibt , dann lautet die Frage : Was ist x in der folgenden Gleichung:

10x = 100

oder

 x =  


Allgemein :


mit x: Logarithmus , a: Basis, b: Numerus
Man liest : x ist gleich der Logarithmus der Zahl b zur Basis a


Eine andere oft benutzte Darstellung von a log b ist logab. Aus

10x = 100

wird dann

x = log10100 = 2

Beispiele :[Bearbeiten]

Am einfachsten zu verstehen ist der Logarithmus zu Basis 10, wenn man die Zahlen 10, 100, 1000, 10000 etc betrachtet. Der Logarithmus ist dann einfach die Anzahl der Nullen hinter der 1.

, 

denn 101 = 10

, 

denn 102 = 100

, 

denn 103 = 1000

, 

denn 104 = 10000

Nicht viel schwieriger ist der duale oder binäre Logarithmus:

, 

denn 21 = 2

, 

denn 22 = 4

, 

denn 23 = 8

Hat man das Prinzip einmal begriffen, dann kann man auch den Logarithmus zu einer anderen Basis leicht verstehen:

, 

denn 42 = 16

, 

denn 34 = 81

Man sieht das allgemeine Prinzip des Logarithmus: Große Zahlen kann man mit seiner Hilfe in kleine Zahlen umwandeln.

Logarithmensysteme[Bearbeiten]

Es gibt gewisse Regeln, die man sich einfach merken sollte, um sich das Leben mit den Logarithmen zu vereinfachen. So können wir immer sagen, dass der Logarithmus von 1 für jede Basis 0 ist. Denn wir wissen ja, dass eine Basis hoch 0 immer 1 ergibt.



Der Logarithmus mit gleicher Basis und gleichem Numerus ist immer 1



Der Logarithmus von Null ist eine Ausnahme, sein Grenzwert strebt ins negativ Unendliche.

, denn 


Logarithmen mit gleicher Basis bilden ein Logarithmensystem

, denn ax = ax.

Basis[Bearbeiten]

Als Basis werden am häufigsten folgende Zahlen verwendet: 2,e,10

dualer oder binärer Logarithmus 
 Basis b = 2 
 (2er Logarithmus) abgekürzt als ld oder lb
natürlicher Logarithmus 
 Basis b = e = 2,718281828459... 
 abgekürzt als ln
dekadischer oder zehner Logarithmus 
 Basis b = 10  
 abgekürzt als lg

Basisumwandlung[Bearbeiten]

Viele Taschenrechner können nur den Logarithmus zur Basis 10 bestimmen (dekadischer Logarithmus). Oftmals ist es daher nützlich, verschiedene Basen ineinander umzuwandeln. Dies geschieht nach folgendem Gesetz: logna=logma/logmn

Der Beweis hierzu findet sich bei Wikipedia im Artikel Logarithmieren


Dekadischer Logarithmus zur Basis 10[Bearbeiten]

Um die Rechnung zu vereinfachen, wählte man per Definition die Basis 10. Man nennt diese Logarithmen Briggsche, dekadische oder gewöhnliche Logarithmen.

Die Basis 10 muss an diese Logarithmen nicht dran geschrieben werden. Allerdings
schreibt man nun statt log nur noch lg


Logarithmengesetze[Bearbeiten]

Produkt innerhalb des Logarithmus[Bearbeiten]

Wenn wir ein Produkt logarithmieren, so dürfen wir es auch als Summe zweier Logarithmen beschreiben.



Ein kleines Beispiel :


, denn 103 = 1000


Brüche innerhalb des Logarithmus[Bearbeiten]

Man glaubt es kaum, aber ein Bruch wird nun, statt wie bei der Multiplikation addiert, nun voneinander
subtrahiert.


Potenzen innerhalb Logarithmen[Bearbeiten]

Wird der Numerus potenziert, so darf man die Potenz mit der Basis multiplizieren.


Wurzeln innerhalb Logarithmen[Bearbeiten]

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man den Logarithmus der Basis durch den Wurzelexponenten
dividiert.



Weblinks[Bearbeiten]