Mathematikunterricht/ Sek/ Op/ Logarithmieren

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Einführung

In den vorherigen Kapiteln ging es auch um das Potenzieren und Wurzelziehen. Im Wesentlichen drehte es sich bei den Berechnungen dabei um den Potenzwert und die Basis. Aber was ist, wenn wir den Exponenten berechnen wollen? Genau diese Frage stellt sich die Mathematik des Logarithmierens.
Ein Beispiel soll das verdeutlichen :

Bisher stellten wir uns lediglich die Frage, was ist $10^{2}$? Nämlich 100! 

Ebenfalls fragten wir uns, was ist ${\sqrt {100}}$? In diesem Fall die 10!
 
In diesem Kapitel wollen wir uns aber mit folgender Frage beschäftigen: 

Welcher Exponent gehört zur Basis, in unserem Fall der  10, damit 100 rauskommt?

Dieses mathematische Problem ist also mit dem Logarithmus zu lösen. Mathematisch geschrieben, sähe die Fragestellung so aus:

$10\log 100=$?

Wenn man statt des Fragezeichens wie üblich ein x schreibt , dann lautet die Frage : Was ist x in der folgenden Gleichung:

10x = 100

oder

 x = $10\log 100$ 

Allgemein :

$x=a\log b$
mit x: Logarithmus , a: Basis, b: Numerus
Man liest : x ist gleich der Logarithmus der Zahl b zur Basis a

Eine andere oft benutzte Darstellung von a log b ist log_ab. Aus

10x = 100

wird dann

x = log10100 = 2

Beispiele :

Am einfachsten zu verstehen ist der Logarithmus zu Basis 10, wenn man die Zahlen 10, 100, 1000, 10000 etc betrachtet. Der Logarithmus ist dann einfach die Anzahl der Nullen hinter der 1.

$10\log 10=1$, 

denn 10¹ = 10

$10\log 100=2$, 

denn 10² = 100

$10\log 1000=3$, 

denn 10³ = 1000

$10\log 10000=4$, 

denn 10⁴ = 10000

Nicht viel schwieriger ist der duale oder binäre Logarithmus:

$2\log 2=1$, 

denn 2¹ = 2

$2\log 4=2$, 

denn 2² = 4

$2\log 8=3$, 

denn 2³ = 8

Hat man das Prinzip einmal begriffen, dann kann man auch den Logarithmus zu einer anderen Basis leicht verstehen:

$4\log 16=2$, 

denn 4² = 16

$3\log 81=4$, 

denn 3⁴ = 81

Man sieht das allgemeine Prinzip des Logarithmus: Große Zahlen kann man mit seiner Hilfe in kleine Zahlen umwandeln.

Logarithmensysteme

Es gibt gewisse Regeln, die man sich einfach merken sollte, um sich das Leben mit den Logarithmen zu vereinfachen. So können wir immer sagen, dass der Logarithmus von 1 für jede Basis 0 ist. Denn wir wissen ja, dass eine Basis hoch 0 immer 1 ergibt.

$b\log 1=0$

Der Logarithmus mit gleicher Basis und gleichem Numerus ist immer 1

$a\log a=1$

Der Logarithmus von Null ist eine Ausnahme, sein Grenzwert strebt ins negativ Unendliche.

$a\ \lim _{x\to 0}\log x=-\infty$, denn $\lim _{a\to {\infty }}{\frac {1}{a^{\infty }}}=0$

Logarithmen mit gleicher Basis bilden ein Logarithmensystem

$a\log a^{x}=x$, denn ax = ax.

Basis

Als Basis werden am häufigsten folgende Zahlen verwendet: 2,e,10

dualer oder binärer Logarithmus 
 Basis b = 2 
 (2er Logarithmus) abgekürzt als ld oder lb

natürlicher Logarithmus 
 Basis b = e = 2,718281828459... 
 abgekürzt als ln

dekadischer oder zehner Logarithmus 
 Basis b = 10  
 abgekürzt als lg

Basisumwandlung

Viele Taschenrechner können nur den Logarithmus zur Basis 10 bestimmen (dekadischer Logarithmus). Oftmals ist es daher nützlich, verschiedene Basen ineinander umzuwandeln. Dies geschieht nach folgendem Gesetz: log_na=log_ma/log_mn

Der Beweis hierzu findet sich bei Wikipedia im Artikel Logarithmieren

Dekadischer Logarithmus zur Basis 10

Um die Rechnung zu vereinfachen, wählte man per Definition die Basis 10. Man nennt diese Logarithmen Briggsche, dekadische oder gewöhnliche Logarithmen.

Die Basis 10 muss an diese Logarithmen nicht dran geschrieben werden. Allerdings
schreibt man nun statt log nur noch lg

Logarithmengesetze

Produkt innerhalb des Logarithmus

Wenn wir ein Produkt logarithmieren, so dürfen wir es auch als Summe zweier Logarithmen beschreiben.

$\lg(a\cdot b)=\lg a+\lg b$

Ein kleines Beispiel :

$\lg(10\cdot 100)=\lg 10+\lg 100$
$\lg 1000=1+2=3$, denn 103 = 1000

Brüche innerhalb des Logarithmus

Man glaubt es kaum, aber ein Bruch wird nun, statt wie bei der Multiplikation addiert, nun voneinander
subtrahiert.

$\lg \left({\frac {a}{b}}\right)=\lg a-\lg b$

Potenzen innerhalb Logarithmen

Wird der Numerus potenziert, so darf man die Potenz mit der Basis multiplizieren.

$\lg(a^{b})=b\cdot \lg(a)$

Wurzeln innerhalb Logarithmen

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man den Logarithmus der Basis durch den Wurzelexponenten
dividiert.

$\lg \left({\sqrt[{a}]{b}}\right)={\frac {\lg b}{a}}$

Weblinks

• Einführung zum Logarithmus + Herleitung der Logarithmusregeln (Videolektion)