Mathematik: Schulmathematik: Mathematik für die Grundschule

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Grundlagen[Bearbeiten]

Im folgenden werden (bisher) lediglich die mathematischen Bereiche der Arithmetik und Ansätze der Zahlentheorie dargestellt. Als (gleichberechtigte) Teilbereiche der Mathematik in dieser Zusammenfassung fehlen die Geometrie, das Größenrechnen sowie die strategischen Komponenten des Sachrechnens, die Stochastik und die Kombinatorik, die jeweils (wenn auch teilweise nur in Ansätzen) auch schon in der Grundschule behandelt werden.

Ziffern[Bearbeiten]

Die Ziffern bilden die Grundlage der Mathematik. Wir benutzen folgende Ziffern:

Null:   0
Eins:   1
Zwei:   2
Drei:   3
Vier:   4
Fünf:   5
Sechs:  6
Sieben: 7
Acht:   8
Neun:   9

Zahlen[Bearbeiten]

Zahlen bestehen aus mindestens einer Ziffer.

Natürliche Zahlen (mit Ausnahme der Null) haben einen Vorgänger und einen Nachfolger:

Vorgänger Zahl Nachfolger
 
   0       1       2
   1       2       3
   2       3       4
   3       4       5
   4       5       6
   5       6       7
   6       7       8
   7       8       9
   8       9      10
   .       .       .
   .       .       .
   .       .       .
 135     136     137
 136     137     138
 137     138     139
 138     139     140
   .       .       .
   .       .       .
   .       .       .


Um größere Zahlen als die 9 darzustellen, schreibt man mehrstellige Zahlen, zum Beispiel die Zehn: 10. Es tritt die Bündelung im Zehnersystem auf, wobei die nächste Stufe der Bündelung jeweils einer natürlichen Potenz der Basis 10 entspricht: 10, 100, 1000, 10000, etc. Noch größere Zahlen haben entsprechend mehr Stellen, wie Einhundert: 100. Bei vierstelligen Zahlen kann man den Punkt als Tausendertrennzeichen benutzen, damit die Zahlen leichter zu lesen sind: 1.000. Man kann auch einfach eine Lücke lassen: 1 000.

Die Zahlen lassen sich wie folgt zerlegen:

T H Z E: Tausender Hunderter Zehner Einer
3 5 1 5      3         5        1     5

1 Zehner ist mehr als 5 Einer, 3 Tausender sind mehr als 5 Hunderter und auch mehr als 5 Einer.

In der Grundschule wird in der Regel der Zahlenraum in mehreren Schritten erweitert bzw. erschlossen:

1. Schuljahr Zahlenraum 0 bis 20

2. Schuljahr Zahlenraum bis 100

3. Schuljahr Zahlenraum bis 1.000 - sowie einfache Teilbereiche der Reellen Zahlen, d.h. Zahlen mit bis zu 3 Nachkommastellen (z.B. 0,123) und einfache Stammbrüche (wie 1/4).

4. Schuljahr Zahlenraum bis 1.000.000

Rechenzeichen[Bearbeiten]

Die Rechenzeichen sind:

Gleich:        =
Plus:          +
Minus:         -
Mal:           ·
Geteilt durch: :

Bei Computern wird davon abweichend für das Malnehmen statt des Punktes · das Sternchen * und für das Geteilt durch statt des Doppelpunktes : der Schrägstrich / verwendet.

Das Gleichheitszeichen steht zwischen gleichen Werten:

1     = 1
2     = 2
1 + 1 = 2  oder auch 2 = 1 + 1

Zahlengerade[Bearbeiten]

Man kann die Zahlen auch auf einer Zahlengeraden darstellen:

|-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10

Um eine bestimmte Zahl auf der Zahlengeraden darzustellen, benutzt man Pfeile mit dem Betrag (der Länge) der gewünschten Zahl:

             5 LE
|----------------------------->
 
|-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10

Wie man an der Zahlengeraden ablesen kann, beträgt die Länge des Pfeils 5 Längeneinheiten(LE), dabei ist es egal, an welcher Stelle sich der Pfeil befindet:

                                      5 LE
                        |----------------------------->
 
|-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10

Dieser Pfeil ist genauso lang wie der vorige, also 5 Längeneinheiten.

Grundrechenarten[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Die Addition stellt entweder das Ermitteln der Mächtigkeit einer Vereinigungsmenge aus disjunkten Mengen (mit unterscheidbaren Elementen) dar: 5 Äpfel plus 2 Äpfel oder das Zusammenlegen von Größen gemäß z.B. der folgenden Darstellung dar.

Addition dargestellt auf der Zahlengeraden[Bearbeiten]

Um die Addition zweier Zahlen auf der Zahlengeraden darzustellen, braucht man zwei Pfeile:

 1 LE
|---->
    2 LE
|----------->
 
|-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10

Diese Pfeile werden dann einfach hintereinander angeordnet:

 1 LE      2 LE
|---->|----------->
|-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10

Die Spitze des vorderen Pfeils zeigt dann auf das Ergebnis: 3 LE.

Addition mit Rechenzeichen[Bearbeiten]

Bei der Addition werden mehrere Zahlen zusammengezählt: 1 + 1 = 2.

1.Summand + 2.Summand = Summe

Zählt man eins zu einer Zahl dazu, dann ist das Ergebnis der Nachfolger dieser Zahl. Zählt man zwei zu einer Zahl dazu, dann ist das Ergebnis der Nachfolger des Nachfolgers dieser Zahl: 2 + 2 = 4.

 1 = 1
 2 = 1 + 1
 3 = 1 + 1 + 1
 4 = 1 + 1 + 1 + 1
 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1
       = 6 + 1 + 1
       = 7 + 1
       = 8

Hierbei gilt das Kommutativgesetz, das Vertauschungsgesetz,
das heißt, dass man Zahlen aus einer Summe beliebig vertauschen kann:

 3 + 5 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 4 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 5 + 1 + 1 + 1
       = 6 + 1 + 1
       = 7 + 1
       = 8
 5 + 3 = 3 + 5
Schriftliche Addition[Bearbeiten]

Die schriftliche Addition wird verwendet, um mehrere oder große Zahlen zueinander zu addieren. Hierbei werden die zu addierenden Zahlen so angeordnet, dass jeweils gleichwertige Ziffern untereinander stehen ( Einer unter Einer - Zehner unter Zehner usw. ). Vor die zu addierenden Zahlen schreibt man als Kennzeichen der Addition jeweils ein "+":

   35 795
+     936
+     326

Darunter zieht man einen Strich, unter den das Ergebnis gesetzt wird. Man addiert dabei die jeweils untereinander stehenden Ziffern zueinander, beginnend mit den Einern. Von dem Ergebnis schreibt man die letzte Ziffer unter den Strich. Wenn die Zahl mehrstellig ist, schreibt man die restlichen Ziffern (den Übertrag) in kleiner Schrift über den Strich bei der nächsthöheren Stelle.


Addition der Einerstellen mit anschließendem Übertrag

   35 795                                        
+     936                                             
+     326                              5 + 6 + 6     = 17
       1  <- Übertrag                                  
---------                                               
        7                              Einerstelle der Summe


Addition der Zehnerstellen mit anschließendem Übertrag

   35 795                                         
+     936                                              
+     326                              9 + 3 + 2 + 1 = 15
      11  <- Übertrag                                   
---------                                               
       57                              Zehnerstelle der Summe


Addition der Hunderterstelle mit anschließendem Übertrag

   35 795                                           
+     936                                              
+     326                              7 + 9 + 3 + 1 = 20
    2 11  <- Übertrag                                   
---------                                               
      057                              Hunderterstelle der Summe


Addition der Tausenderstelle ohne Übertrag

   35 795                                           
+     936                                              
+     326                              5 + 2         = 7
    2 11  <- Übertrag                                  
---------                                              
    7 057                              Tausenderstelle der Summe


Addition der Zehntausenderstelle ohne Übertrag

   35 795                                           
+     936                                              
+     326                              3             = 3
    2 11  <- Übertrag                                   
---------                                               
   37 057                              Zehntausenderstelle der Summe


Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass man nur relativ kleine Zahlen im Kopf addieren muss. So kann man Rechenfehler leichter ausfinding machen und muss nicht die gesamte Berechnung wiederholen.

Subtraktion[Bearbeiten]

Minuend - Subtrahend = Differenz oder Unterschied

Schriftliche Subtraktion[Bearbeiten]

Die schriftliche Subtraktion ist etwas komplizierter, als die Addition. Bei zwei Zahlen ist es noch relativ einfach, schwieriger wird es bei 3 und mehr Zahlen.

Subtraktion von 2 Zahlen:

28-17=11

Schriftlich ist die Subtraktion eine umgekehrte Addition

Subtraktion der Einerstelle

 28
-17 Man "füllt" die abzuziehende Zahl soweit auf, dass die obenliegende Zahl erreicht wird
---
  1 -> 7+1=8 und schreibt unter dem Ergebnisstrich in diesem Fall die 1.

Subtraktion der Zehnerstelle

 28
-17
---
 11 -> 1+1=2

Auch hier gibt es einen Übertrag, nämlich dann, wenn die obenliegende Ziffer kleiner ist, als die zugehörige des Subtrahenden. Dieser Übertrag wird dann zur nächsten Ziffer des Subtrahenden dazuaddiert:

Subtraktion der Einerstelle

 31
-17
 1 -> Übertrag, denn 7+4=11 (die Zehnerstelle wird als Übertrag weiterverwendet)
---
  4

Subtraktion der Zehnerstelle

 31
-17
 1 -> Nun wird zur nächsten Ziffer des Subtrahenden der Übertrag hinzuaddiert, 
---                 also 10+10=20 und von der 30 abgezogen 30-20=10
 14


Drei und mehr Zahlen subtrahieren

89-17-45=27

Hier werden alle Zahlen, die ein Minus (-) als Vorzeichen haben, erstmal addiert.

17+45=62

und vom Minuenden danach abgezogen

89-62=27

D.h. es werden 2 Schritte ausgeführt. Nämlich die Addition aller Subtrahenden und danach die Subtraktion wie oben beschrieben.

Multiplikation[Bearbeiten]

Ein Produkt ist die Addition gleicher Summanden, wobei ein Faktor den jeweiligen Summanden und ein weiterer Faktor die Anzahl der Summierungen darstellt.

1.Faktor · 2.Faktor = Produkt

Schriftliche Multiplikation[Bearbeiten]

Bei der schriftlichen Multiplikation wird die erste Zahl mit den einzelnen Ziffern der zweiten Zahl nacheinander, beginnend bei der letzten Stelle, multipliziert. Für jede neue Ziffer wird eine neue Zeile benötigt. Man schreibt jede Multiplikation untereinander und addiert die einzelnen Werte.

Leicht veranschaulicht wird dies bei folgenden 3 Beispielen:

   13*7
   ----
     21 -> 7*3
(+)  70 -> 7*10
   ----
     91

Bei zwei- und mehrstelligem Multiplikator macht man obige Rechnung für jede Ziffer "im Kopf" oder auf einer sogenannten Nebenrechnung

 123*41
 ------
      3 -> 1*3
 123*41
 ------
     23 -> 1*20
 123*41
 ------
    123 -> 1*100

Jetzt kommt die Zehnerzahl dran:

  123*41
  ------
     123
(+)   20 -> 40*3 = 120 (schreibe 20, merke 100)
  123*41
  ------
     123
(+)  920 -> 40*20 = 800 (+ die gemerkten 100 sind 900, also schreibe 9)
  123*41
  ------
     123
(+) 4920 -> 40*100 = 4000 (also schreibe 4)
  123*41
  ------
     123
(+) 4920
  ------
    5043    


Zur besseren Übersicht kann man auch von "vorne" multiplizieren:

   765*984
   -------
    688500  -> 765*900 = 900*700 + 900*60 + 900*5 = 688500 (s. a. schriftliche Addition)
(+)  61200  -> 765* 80 =  80*700 +  80*60 +  80*5 =  61200 (s. a. schriftliche Addition)
(+)   3060  -> 765*  4 =   4*700 +   4*60 +   4*5 =   3060 (s. a. schriftliche Addition)
   -------
    752760

Gebräuchlich ist auch, die Nullen der 10er-Potenz wegzulassen also bei 900 die letzten beiden Nullen und bei 80 die letzte.

   765*984
   -------
    6885
     6120
      3060
   -------
    752760

Dies führt aber bei Ungeübten recht schnell zu versteckten Fehlerquellen.

Division[Bearbeiten]

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Bei der Multiplikation wird berechnet:

Faktor 1  *  Faktor 2  =  Produkt

Bei der Division versucht man, aus dem Produkt und einem der beiden Faktoren den anderen zu errechnen:

Produkt   :  Faktor 1  =  Faktor 2
mit den Begriffen der Division:
Dividend  :  Divisor   =  Quotient
Schriftliche Division[Bearbeiten]

Bei der schriftlichen Division versucht man schrittweise, wie oft von links nach rechts in einem Teil des Dividenden der Divisor enthalten ist, und führt diese Versuche nacheinander für die nächsten Ziffern durch.

Aufgabe:

 750792 : 763

Der Divisor besteht aus 3 Ziffern, als prüfen wir die ersten 3 Ziffern des Dividenden:

 Wie oft ist 763 in 750 enthalten? Offensichtlich 0-mal.
 750... : 763 = 0      

Eine Null am Anfang einer Zahl bringt nichts, also prüfen wir die ersten 4 Ziffern:

 Wie oft ist 763 in 7507 enthalten? Vermutung: mindestens 8-mal 
 7507.. : 763 = 8    Zur Prüfung wird 763*8 ausgerechnet, das geht immer im Kopf:
-6104                Das geht, also wird subtrahiert, um mit dem Rest weiterzurechnen.
-------
 1403                

Oops, das Ergebnis ist größer als 763. Also ist 763 noch einmal mehr in 7507 enthalten. Neuer Versuch:

 Wie oft ist 763 in 7507 enthalten? Vermutung: 9-mal 
 7507.. : 763 = 9    Zur Prüfung wird 763*9 ausgerechnet:
-6867                Das geht, also wird subtrahiert, um mit dem Rest weiterzurechnen.
-------
  640                Der Rest ist kleiner als 763, also liegen wir jetzt richtig.

Die nächste Ziffer aus der Aufgabenstellung wird heruntergezogen:

 75079. : 763 = 98
-6867                
-------
  6409  : 763        Wie oft ist dieser Wert in 763 enthalten? Vermutung: 8-mal
 -6104               Prüfung: 763*8
-------              Das geht, also wird subtrahiert, um mit dem Rest weiterzurechnen.
   305               Der Rest ist kleiner als 763, also liegen wir richtig.

Die nächste Ziffer aus der Aufgabenstellung wird heruntergezogen:

 750792 : 763 = 985
-6867                
-------
  6409               
 -6104               
-------              
   3052 : 763        Wie oft ist dieser Wert in 763 enthalten? Vermutung: 5-mal
  -3815              Prüfung: 763*5

Oops, das Ergebnis ist größer als der letzte Restwert. Also ist 763 weniger als 5-mal in 3052 enthalten. Neuer Versuch:

 750792 : 763 = 984
-6867                
-------
  6409               
 -6104               
-------              
   3052 : 763        Wie oft ist dieser Wert in 763 enthalten? Vermutung: 4-mal
  -3052              Prüfung: 763*4
-------
      0              Rest 0

Diese Rechnung ist jetzt aufgegangen, genau zusammen mit der letzten Ziffer des Dividenden. Also ist die Division genau aufgegangen, und das Ergebnis lautet 984.

Die grünen Angaben werden üblicherweise nicht geschrieben; sie zeigen, was jeweils dividiert wird.

Noch eine Aufgabe:

 691752 : 984 = 703  Erster Schritt 6917:984 - Vermutung: 7-mal
-6888
-------
   295  : 984        Offensichtlich 0-mal, also ins Ergebnis 0 eintragen 
                     und sofort die nächste Ziffer herunterholen:
   2952 : 984        Vermutung: 3-mal
  -2952
-------
      0              Rest 0

In gleicher Weise kann mit Dezimalzahlen dividiert werden (dies ist in der Regel nicht Stoff der Grundschule, wird aber hier der Vollständigkeit halber erwähnt):

  • Fall 1: Die Division ganzer Zahlen geht nicht auf. Dann erhält der Quotient an dieser Stelle ein Komma und es wird für jeden Schritt eine '0' heruntergezogen.
  • Fall 2: Der Dividend ist eine Dezimalzahl. Dann erhält der Quotient in dem Moment das Komma, wenn die erste Ziffer hinter dem Komma des Dividenden heruntergezogen wird.
  • Fall 3: Der Divisor ist eine Dezimalzahl. Dann wird zuerst das Komma sowohl beim Dividenden als auch beim Divisor um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts verschoben, sodass der Divisor eine ganze Zahl ist; ggf. werden '0' angehängt. Beispiele:
 123,456 : 7,891    wird berechnet als   123456  : 7891    Komma um 3 Stellen verschieben
 123,45  : 7,891    wird berechnet als   123450  : 7891    Komma um 3 Stellen verschieben, eine 0 anhängen
 123,456 : 7,89     wird berechnet als   12345,6 :  789    Komma um 2 Stellen verschieben

Rechengesetze[Bearbeiten]

Kommutativgesetz[Bearbeiten]

Das Kommutativgesetz (lat. commutare - vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, legt fest, wie Argumente einer Operation vertauscht werden dürfen.

Die Summanden eines Summenterm können beliebig vertauscht werden, ohne das sich der Wert der Summe ändert:

a + b\quad=\quad b + a

Auch bei der Multiplikation können die Faktoren beliebig vertauscht werden, ohne dass sich der Wert ändert:

a \cdot b\quad=\quad b \cdot a

Assoziativgesetz[Bearbeiten]

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, wird erfüllt, wenn eine Klammerung beliebig gesetzt werden kann.

In dem folgenden Beispiel führen alle drei Summentermen zu der gleichen Summe. Sie sind also „Assoziativ“:

\left( a + b \right) + c\quad=\quad a + b + c\quad=\quad a + \left( b + c \right)

Das Selbe gilt für diese drei Produkttermen. Trotz unterschiedlicher Klammersetzung liefern Sie alle dieselbe Summe und sind somit ebenfalls „Assoziativ“:

(a \cdot b ) \cdot c \quad=\quad a \cdot b \cdot c \quad=\quad a \cdot ( b \cdot c )

Nicht Assoziativ sind dagegen Differenztermen:

(a-b)-c \quad\neq\quad a-(b-c)

Auch Quotienttermen sind nicht Assoziativ:

(a/b)/c \quad\neq\quad a/(b/c)

Distributivgesetz[Bearbeiten]

Das Distributivgesetz (lat. distribuere „Verteilen“), auf Deutsch Verteilungsgesetz, gibt an, wie bei Verknüpfungen von z.B. Multiplikation und Addition die Klammern aufgelöst werden:

a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c