(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Dreieckskonstruktion: Dreieck aus drei Höhen)
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Dreieckskonstruktion 1. Möglichkeit[Bearbeiten]
Vorüberlegung:
Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen:
Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich.
Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.
(1)
und damit
(2)
Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von
aus auf der Seite
die Höhe
und auf der Seite
die Höhe
antragen (siehe Skizze)
nach (2) als Verhältnisgleichung ist
(3)
und (3a)
und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie
parallel zu
laufen.
Weiter ist dann nach dem Strahlensatz
(4)
(4a)
(3a) in (4a) eingesetzt:
(4b)
Damit sind für das Hilfsdreieck
die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.
Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:
Man konstruiert das Dreieck
aus den Seiten
,
und
. Auf die Seite
fällt man ein Lot zu Punkt
und verlängert dieses auf die Länge
. Durch den Endpunkt der Höhe
zieht man eine Parallele zur Linie
deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von
und
die Punkte
und
ergeben (siehe Skizze).
Dreieckskonstruktion 2. Möglichkeit[Bearbeiten]
Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz[Bearbeiten]
- Zeichne eine Gerade
und trage
ab.
- Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt
in einem Abstand von
und
.
- Zeichne das gleichschenklige Dreieck
.
- Trage auf beiden Schenkeln die Strecken
ab.
- Die Strecke
hat die Länge
.
Teil 2: Konstruktion des Dreiecks[Bearbeiten]

- Zeichne um ein Ende der Strecke
(Punkt
) einen Kreisbogen mit dem Radius
und um das andere Ende (Punkt
) einen Kreisbogen mit dem Radius
. Es entstehen zwei zur Strecke
symmetrische Schnittpunkte (
und
).
- Zeichne die Geraden
und
.
- Fälle das Lot von
auf
durch Verbinden der Punkte
und
.
- Trage auf dieser Lotgerade von
aus die Strecke
ab (Endpunkt
).
- Konstruiere zur Strecke
eine parallele Gerade im Abstand
.
- Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um
mit dem Radius
und eines Bogens um Punkt
mit dem Radius
.
- Verfahre mit einem Bogens um
mit dem Radius
und einem Bogen um
mit dem Radius
genauso.
- Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.
- Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden
und
bildet das gesuchte Dreieck
.
Durchführbarkeit der Konstruktion[Bearbeiten]
Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn
konstruiert werden kann.
Dies ist genau dann der Fall, wenn
usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.
Dreieckskonstruktion 3. Möglichkeit[Bearbeiten]
In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB1C1 das gesuchte Dreieck ABC.
Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie
gilt
mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt
mit der Bedingung der Flächeninhalt
bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie
verdoppelt, damit ergibt sich
somit zeigt sich
die Länge der Grundlinie
des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe
.
Für das gesuchte Dreieck
bedeutet dies:
oder
daraus folgt:
Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen
und
sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck
Multipliziert man
,
bzw.
mit dem
Proportionalitätsfaktor
, so erhält man für die Seitenlängen
und
des Hilfsdreiecks folgende Werte:

Ist die Seitenlänge
, als Strecke
, aus den zwei Höhen
und
mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen
und
als Seiten des Hilfsdreiecks
eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks
das endgültige Dreieck
- Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass
nicht länger als
ist.
- Zeichne eine Gerade
und bestimme darauf den ersten Eckpunkt
des späteren Dreiecks.
- Errichte eine Senkrechte zur Gerade
im Punkt
und übertrage darauf die Höhe
als Strecke
ab.
- Konstruiere eine Parallele
zur Gerade
durch den Punkt 
- Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt
mit dem Radius gleich der Höhe
er schneidet die Gerade
im Punkt 
- Verbinde den Punkt
mit dem Punkt 
- Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt
mit dem Radius gleich der Höhe 
- Errichte eine Senkrechte zur Strecke
im Punkt
sie erzeugt den Schnittpunkt
auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe 
- Zeichne eine Parallele zur Strecke
ab dem Punkt
bis zur Gerade
es ergibt sich der Schnittpunkt 
- Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt
mit dem Radius gleich der Höhe
es ergibt sich der Schnittpunkt
auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe
somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks
bestimmt.
- Zeichne eine Gerade ab dem Punkt
durch den Punkt
bis auf die Gerade
es ergibt sich der Schnittpunkt
Der Punkt
ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
- Verbinde den Punkt
mit dem Punkt 
- Zeichne eine Parallele zur Strecke
ab dem Punkt
bis auf die Gerade
es ergibt sich der Schnittpunkt
Der Punkt
ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
- Verbinde den Punkt
mit dem Punkt
somit ist das Dreieck
konstruiert.
Seitenlängen des Hilfsdreiecks[Bearbeiten]
Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks
ergibt sich:
(Konstruktionsplan, 5.)
(Konstruktionsplan, 10.)
Die Dreiecke
und
sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Daraus folgt
und weiter
Seitenverhältnisse im Hilfsdreieck[Bearbeiten]
Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:
Übergang zum Dreieck
[Bearbeiten]
Wegen der Parallelität von
und
(Punkt 13. des Konstruktionsplans)
sind die Dreiecke
und
zueinander ähnlich. Somit erhält man für die
Seitenverhältnisse im Dreieck
:
Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:
Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck
zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.
Da der Abstand zwischen den Geraden
und
gleich
ist
(Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe
den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist
nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.
Berechnung der Dreiecksseiten und des Flächeninhalts[Bearbeiten]
1. Dreieck
- 1.1

2. Dreieck
- 2.1

3. Hilfsdreieck
- 3.1 Bezeichnungen:




- 3.2 Kosinussatz:

- 3.3 Folgerung:

- Durch Erweitern mit
ergibt sich daraus
.
- 3.4





- 3.5

4. Ähnliche Dreiecke:
- 4.1


5. Dreieck
- 5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für
in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge
:


Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:
- 5.2

- 5.3

- 5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel
:

Dreieckskonstruktion, 4. Möglichkeit[Bearbeiten]
Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus.
Die als
gewählte Höhe sollte kleiner als
sein.
1. Konstruiere das gleichschenklige
nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen
(2 mal) und
2. Trage auf den beiden Strecken
jeweils die Strecke
von Punkt
ab. Man erhält die Punkte
und
3. Die Verbindung der beiden Endpunkte
und
ergibt die Strecke
4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius
um den Punkt
5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius
um den Punkt
6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt
7. Zeichne eine parallele Strecke zu
im Abstand
von Punkt
8. Zeichne eine Strecke von
über
hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt
des gesuchten Dreiecks
9. Zeichne eine Strecke von
über
hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt
des gesuchten Dreiecks
10. Damit ist das
konstruiert