Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Grundkonstruktionen

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Hinweis: Grafiken kommen meistens etwas später noch dazu.

Hier werden wichtige Grundkonstruktionen der ebenen Geometrie erläutert. Es geht hier um Konstruktionen mit klassischen Mitteln, also nur Zirkel und (unskaliertes) Lineal.

Aufbau des Systems

Voraussetzung für alle Konstruktionen sind die beiden Elementarkonstruktionen "Strecke abtragen" und "Winkel antragen", deren Funktionsweise sich direkt erschließt. Darauf bauen die beiden wichtigsten Grundkonstruktionen "Halbieren einer Strecke" und "Halbieren eines Winkels" auf. Diese wiederum sind die Basis für die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen.

Elementarkonstruktionen

Abtragen einer Strecke auf einer Geraden

Gegeben: Eine Strecke AB und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.
  1. Mit dem Zirkel in Punkt A einstecken und den Abstand zu B einstellen.
  2. Den Zirkel in Punkt P einstecken und die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden zeichnen.
  3. Es gibt zwei (!) Möglichkeiten.



Antragen eines Winkels in einem Punkt an eine Gerade

Winkelantragen.svg
Gegeben: Ein Winkel α und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.
  1. Mit dem Zirkel in den Scheitelpunkt S des Winkels einstecken und einen Bogen durch beide Schenkel zeichnen (Punkte A und B).
  2. Den gleichen Bogen auch um den Punkt P der Geraden zeichnen. Es ergibt sich Punkt C .
  3. Den Zirkel auf den Abstand der beiden Punkte A und B einstellen und einen Bogen um C zeichnen.
  4. Die Schnittpunkte der beiden Kreise um P und C ergibt den möglichen Punkt D auf dem anderen Schenkel des Winkels.
  5. Es gibt durch zweifache Spiegelung vier (!) Möglichkeiten.



Grundkonstruktionen erster Stufe

Halbieren einer Strecke (Mittelsenkrechte)

DivideAStraightLine.svg
Gegeben: Eine Strecke AB
  1. Zeichne um den Punkt A einen Bogen mit einem Radius größer als AB / 2 .
  2. Zeichne um den Punkt B einen Bogen mit dem gleichen Radius.
  3. Verbinde die Schnittpunkte der Bögen( P und Q) mit einer Geraden. Diese halbiert AB in Punkt M und ist senkrecht zu AB.



Halbieren eines Winkels

Winkelhalbierung.svg
Gegeben: Ein Winkel α
  1. Zeichne um den Scheitelpunkt S einen Bogen mit beliebigem Radius. Die Schnittpunkte sind A und B .
  2. Zwei weitere Bögen mit je ausreichendem Radius schneiden sich in einem weiteren Punkt C.
  3. Die Gerade durch S und C halbiert den Winkel.
Hinweis

Die beiden Bögen um die Punkte A und B müssen den gleichen Radius haben. Dieser darf jedoch vom Radius des Bogens um S abweichen. Je größer die gewählten Radien, um so genauer wird die Konstruktion.


Grundkonstruktionen zweiter Stufe

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden (Fällen des Lotes)

GetThePerpendicular.svg
Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb der Gerade.
  1. Zeichne um zwei verschiedene Punkte (A , B) der Gerade jeweils einen Bogen vom Punkt P auf die andere Seite.
  2. Der andere Schnittpunkt ist die Spiegelung P' des Punktes P an der Geraden.
  3. Verbinde die Punkte mit einer Geraden. Diese ist das Lot von P auf die Gerade g mit dem Fußpunkt F.
Hinweis

Die in vielen Lehrbüchern dargestellte Konstruktion mit zwei gleichen Radien ist mathem. nicht notwendig und nur sinnvoll, wenn der Punkt so nahe an der Gerade liegt, dass die Konstruktion zu ungenau wird. Siehe dazu auch unter "Errichten einer Senkrechten" auf einem Punkt.


Errichten einer Senkrechten zu einer Geraden (Errichten des Lotes)

SenkrechteErrichten.svg

Linke Bildhälfte:

Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt M auf der Gerade.
  1. Markiere mit dem Zirkel von dem Punkt M aus zwei weitere Punkte mit gleichem Abstand zu M auf der Gerade (A, B)
  2. Zeichne um diese Punkte jeweils einen Kreis mit größerem Radius als zuerst mit dem Zirkel abgetragen.
  3. Die Gerade durch M und den Schnittpunkt S der Kreise ist die Senkrechte s zu g im Punkt M und die Mittelsenkrechte der Stecke AB.

Rechte Bildhälfte:
Dieses Verfahren ist auch geeignet, Das Lot auf eine Gerade zu fällen, wenn der geg. Punkt nahe an der Gerade liegt.



Parallele in vorgegebenem Abstand

ParalleleAbstand.svg
Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Abstand d.
  1. In zwei beliebigen aber verschiedenen Punkten P und Q der Gerade g1 werden die Senkrechten s1 und s2 errichtet.
  2. Trage auf den Senkrechten ( auf einer Seite der Gerade g1) jeweils den Abstand d ab.
  3. Die Gerade g2 durch die so gefundenen Punkte R und S ist zu g1 parallel und hat den Abstand PR = QS = d.
Hinweis

Je länger die Strecke PQ gewählt wird, desto genauer kann gezeichnet werden.


Parallele durch einen vorgegebenen Punkt

ParallelePunkt.svg
Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Punkt P außerhalb von g1.

Möglichkeit 1

  1. Zeichne einen Bogen mit einem Radius r um P, welcher die Gerade g1 in einem Punkt Q schneidet.
  2. Trage ab Q den Radius r auf der Geraden ab (Punkt R).
  3. Zeichne einen Bogen mit dem Radius r um R, welcher den ersten Bogen in Punkt S schneidet.
  4. Die Gerade durch S und P ist die Parallele.


Möglichkeit 2

01-Parallele durch einen Punkt.svg
  1. Zeichne einen unterbrochenen Kreisbogen um den auf der Geraden g1 gewählten Punkt M durch den Punkt P mit dem Radius r1. Er schneidet die Gerade g1 in den Punkten A und B.
  2. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius r2, entspricht dem Abstand |AP|, um den Punkt B bis er den Kreisbogen um M in C schneidet.
  3. Die Gerade durch P und C ist die Parallele.


Möglichkeit 3 mit kollabierendem Zirkel

01-Paralle durch Punkt, kollabierender Zirkel.svg
  1. Zeichne einen Kreis um den auf der Geraden g1 gewählten Punkt M durch den Punkt P. Er schneidet die Gerade g1 im Punkt A.
  2. Zeichne einen Kreis um den Punkt P durch den Punkt M.
  3. Zeichne einen Kreis um den Punkt A durch den Punkt M. Er schneidet den Kreis um P in B.
  4. Die Gerade durch P und B ist die Parallele.