Dreiteilung einer Strecke

(Planimetrie/ Verschiedenes/ Dreiteilung einer Strecke)

(Planimetrie/ Verschiedenes/ Dreiteilung einer Strecke)

Schwerpunktmethode

Gegeben: Eine Strecke (${\overline {AB}}$).

1. Zeichne an ein Ende der Strecke ($AB$) eine Gerade mit beliebigem Winkel ungleich Null.
2. Zeichne mit dem Zirkel auf dieser Gerade in beliebigem Abstand zwei Punkte mit gleichem Abstand zum Streckenende ($C$ und $D$).
3. Verbinde einen der beiden Punkte mit dem anderen Ende der Strecke.
4. Halbiere diese Strecke (${\overline {AC}}$). Man erhält Punkt $E$.
5. Verbinde diese Streckenmitte mit dem Zweiten Schnittpunkt des Kreises. Der Schnittpunkt $T$ teilt ${\overline {AB}}$ im Verhältnis 1:2.

Diese Methode ermittelt den Schwerpunkt eines Dreiecks, bei dem die gegebene Strecke eine Seitenhalbierende ist und erfordert sieben Schritte (drei davon zur Halbierung einer Stecke). Grundsätzlich sind Winkel und Radius egal, die Konstruktion wird in der Praxis bei sehr spitzem Winkel jedoch sehr ungenau.

Mit gleichseitigen Dreiecken

Für die beiden folgenden alternativen Figuren bedarf es nur einer Zirkelöffnung, sprich die Kreise haben stets den Radius gleich der gegebenen Strecke ${\overline {AB}}$.

Methode A

Gegeben ist eine Strecke (${\overline {AB}}$).

1. Zeichne um die beiden Enden $A$ und $B$ einen Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$. Auf diese Weise erhält man die Schnittpunkte $C$ und $D$, welche mit $A$ und $B$ jeweils ein gleichseitiges Dreieck bilden.
2. Zeichen um $C$ ebenfalls einen Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$. Man Erhält Punkt $E$.
3. Zeichne ${\overline {AC}}$ und ${\overline {EB}}$. Der Schnittpunkt ist $F$.
4. Zeichne ${\overline {FD}}$. Der Schnittpunkt $T$ teilt ${\overline {AB}}$ im Verhältnis 1:2.

Diese Methode baut auf der ersten auf, nutzt jedoch die Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks und erfordert nur sechs Schritte.

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  Methode A
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  Methode B

Methode B

Gegeben ist eine Strecke (${\overline {AB}}$).

1. Um die Endpunkte $A$ und $B$ wird ein Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$ gezogen. Dabei ergeben sich die Schnittpunkte $C$ und $D$. Der Punkt $C$ bildet zusammen mit $A$ und $B$ ein gleichseitiges Dreieck.
2. Nun wird der Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$ um $C$ gezogen, sowie eine Halbgerade ab $B$ durch $C$ bis diese den Kreis um $C$ in $E$ schneidet.
3. Die Verbindung des Punktes $E$ mit $D$ teilt im Punkt $F$ die gegebene Strecke ${\overline {AB}}$ im Verhältnis 1:2.

Diese Methode benötigt fünf Schritte.