Mathematik: Schulmathematik: Terme mit Variablen

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Mathematik der Klasse 7

Vereinfachen von Termen mit einer Variablen

Beim Vereinfachen von Termen mit Variablen geht es darum, ungeordnete und vielleicht schwierige mathematische Ausdrücke durch Ordnen, Ausrechnen und Zusammenfassen kürzer und verständlicher zu schreiben. Hierbei müssen die erlernten Rechengesetze und Merkregeln angewendet werden.


Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen (alle, die Du kennst), aus Rechenzeichen wie z.B. plus (+), minus (-), mal (·), geteilt (: oder /), ... und aus Variablen besteht. Ein Term enthält kein Gleich- oder Ungleichheitszeichen, d.h. er steht links oder rechts von einem solchen Zeichen. Zunächst aber lassen wir das (Un-)Gleichheitszeichen weg.

Zwei Beispiele:

13 + 2·a -7·b
4,5 - 4x/2 + 2·y


Was ist eine Variable?

Eine Variable ist ein Buchstabe (z.B. ein "x"), der Platzhalter oder Stellvertreter für einen - zunächst unbekannten - Zahlenwert ist. In manchen Fällen kann er aber auch eine Abkürzung für einen Gegenstand sein, z.B.: a für Apfel oder z für Zahl usw.

Beispiele:
In der Zeile

z = 492 : 3 (z ist erstmal unbekannt.)

steht der Buchstabe z für den Zahlenwert 164. Man sagt auch kurz: z hat den Wert 164. Bei

3 · x = 12

steht der Buchstabe x dagegen für den Zahlenwert 4.

Zwischen einer Variablen und einer Zahl darf zur Vereinfachung der Malpunkt weggelassen werden:

2a = 2 · a

Zwischen zwei Zahlen ist das Weglassen des Malpunktes dagegen nicht erlaubt.

722 und 72 · 2

sind verschieden (Rechne nach!).


Addieren:

Beim Addieren werden Summanden mit gleichen Variablen(und gleicher Hochzahl!) zusammengefasst, indem die Zahlenwerte addiert und die Variable beibehalten wird ,Dies folgt dann so :

1x + 1x = 2x
2x + 4x = 6x
x² + 1x² = 2x²
3x³ + 5x³ = 8x³
6a - 4a = 2a

Anmerkung 1: Die Zahlenwerte stellen "Vielfache" der Variablen dar (z.B.: Das Dreifache von x). Der Wert 1 entspricht dem "Einfachen" der Variablen.
Anmerkung 2: Tritt eine Variable ohne einen Zahlenwert auf (linke Seite von Zeile 3), so kann eine 1 davor geschrieben werden.

Nicht zusammengefasst werden dürfen (man achte genau auf die Hochzahlen) die folgenden Summanden:

1 + x
x³ + x
x³ + x²
3x + 4y

Um besser verstehen zu können, warum man nicht zwei verschiedene Variablen addieren darf, hilft vielleicht folgende Erklärung:
Bei 3x + 4y stelle man sich vor, x seien Schweine und y Hunde. Und man kann nicht sagen: Ich nehme drei Schweine und vier Hunde zähle sie zusammen und erhalte dann sieben Schweinehunde. Es bleiben drei Schweine und vier Hunde!

Ein Beispielterm mit mehreren gemischten Summanden:

7 + 3b - 4 + 5·a + b - a

1. Schritt: Summanden ordnen:

= 5·a - a + 3b + b + 7 - 4

2. Schritt: 5·a durch 5a ersetzen:

= 5a - a + 3b + b + 7 - 4

3. Schritt: Summanden mit gleichen Variablen zusammenfassen:

= 4a + 4b + 7 - 4

4. Schritt: Auch die Zahlen zusammenfassen:

= 4a + 4b + 3

Wir sind fertig und halten fest:

Aus 7 + 3b - 4 + 5·a + b - a wurde (=) 4a + 4b + 3

Rechts vom Gleichheitszeichen steht nun ein einfacherer Term als der, der uns anfangs gegeben war.
Weitere Übungsbeispiele:

5x + 2x² + 3x + 5 + 2 + 3x² =
5x + 3x + 2x² + 3x² + 5 +2 =
8x + 5x² + 7 =

Beim Subtrahieren geht man entsprechend vor. In Zeile 5 der obigen Beispiele haben wir eine solche Subtraktion schon eingeschmuggelt.

Multiplizieren:

Beim Multiplizieren kann man verschiedene Zahlen zusammenfassen, sie müssen aber zusammen stehen.

Beispiele:
3x² · 5 · 2x =
3 · x · x · 5 · 2 · x =
3 · 5 · 2 · x · x · x =
30x³

Beim Multiplizieren werden alle Zahlen multipliziert:

  • normale Zahlen und Variable werden multipliziert

Gemischtes Rechnen:

Beim Vereinfachen von Termen muss man die Regel Punkt- (· / :) vor Strichrechnung (+ / -) beachten:

3x² · 5 + 3 · 2x
= 15x² + 6x

und nicht etwa:
=3x² · 8 · 2x

Das Vereinfachen von Termen nennt man auch "zusammenfassen".