Mathematik: Schulmathematik: Vektorrechnung: Windschiefe Geraden

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Mathematik → Schulmathematik → Vektorrechnung

Darstellung zweier windschiefer Geraden

Zwei Geraden nennt man windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.

Zum Nachweis, dass zwei Geraden g und h windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von g, ein Richtungsvektor von h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g zu einem Punkt auf h linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden[Bearbeiten]

Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden verbindet, nennt man Gemeinlot. Sie ist auch die einzige Strecke, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Die Länge dieser Strecke ist der Abstand d der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden g und h mit den Stützpunkten A und B bzw. den Stützvektoren und den Richtungsvektoren und . Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

wobei gilt und die drei Vektoren   linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor , der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren und steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen

   und auf die Länge 1 bringen:    .

1. Methode: Hilfsebene[Bearbeiten]

Zur Berechnung des Abstandes kann man durch die Gerade h eine Hilfsebene E legen, die zur anderen Gerade g parallel ist. ist somit der Normaleneinheitsvektor der Ebene und B liegt auf der Ebene. Damit bestimmt man E in der Hesseschen Normalform. Der Abstand der beiden Geraden ist identisch mit dem eines beliebigen Punktes der Gerade g (z.B. A) zur Hilfsebene.

2. Methode: Orthogonale Projektion[Bearbeiten]

Die Berechnung des Abstandes ist auch möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird ebenfalls der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

Bestimmung der Lotfußpunkte[Bearbeiten]

Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

1. Methode: Hilfsebene[Bearbeiten]

Den Lotfußpunkt Fh erhält man, indem man eine Hilfsebene E aufstellt. Der Punkt A liegt auf der Hilfsebene, und spannen die Hilfsebene auf.

   , wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch .

Der Schnittpunkt von E und h ergibt den Lotfußpunkt Fh.

Analog erhält man Fg mit der Ebene   und ihrem Schnittpunkt mit g.

Bei dieser Methode muss der Abstand d nicht berechnet werden.

2. Methode: Aufstellen eines LGS[Bearbeiten]

Die Idee hinter dieser Methode ist, dass der gesuchte Verbindungsvektor von g zu h senkrecht auf den Richtungsvektoren und steht. Der Vektor in Klammern ist ein beliebiger Vektor, der auf g startet und auf h endet.

Dies ergibt ein Lineares Gleichungssystem (LGS) mit den zwei Variablen r und s. Das Einsetzen von r in g ergibt den Ortsvektor von Fg, s in h liefert Fh.

Bei dieser Methode werden beide Punkte „in einem Schritt“ bestimmt und auch hier muss der Abstand d nicht berechnet werden.

3. Methode: Verschieben einer Gerade[Bearbeiten]

Bei dieser Methode verschiebt man die Gerade g um die Länge d (Abstand von g und h) entlang . Diese verschobene Gerade hat die Gleichung

  wobei 

Der Schnittpunkt von g' und h ist der Lotfußpunkt Fh.

Analog erhält man Fg, indem man h in Richtung g verschiebt.

Bei dieser Methode muss man darauf achten, dass die Richtung des Vektors auch von h „weg“ zeigen kann.