Mathematikunterricht/ Sek/ Zinsrechnung

Begriffsklärung

Die Zinsrechnung ist eine erweiterte Prozentrechnung, bei der zusätzlich ein Zeitfaktor einbezogen wird. Sie dient in der Kreditwirtschaft und Buchhaltung zur Berechnung von Geldbeträgen, Zinsen und Laufzeiten für Kredite.

Symbolik

Den Bezeichnungen und Symbolen aus der Prozentrechnung entsprechen bei der Zinsrechnung:

Prozentrechnung	Zinsrechnung
G : Grundwert	K : Kapital
W : Prozentwert	Z : Zinsen
p : Prozentsatz	p : Zinssatz
Laufzeit	t : Zeit

Die Zeit t (auch Laufzeit genannt) kommt neu hinzu.

Gleichung

Die Grundgleichung wird zu:

Prozentrechnung	→	Zinsrechnung
${W \over p}={G \over 100}$	→	${Z \over p}={K\cdot t \over 100}$

Dabei ist zu beachten, dass t sich immer Jahre bezieht, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist. Soll nach Tagen oder Monaten berechnet werden, wird t zu:
${t \over 360}$ (Tage) bzw. ${t \over 12}$ (Monate)
In der Finanzwirtschaft werden die Zinsen taggenau berechnet. Entweder wird der erst oder der letzte Tag des Verleih- oder Ausleihzeitraumes berechnet, keinesfalls beide. Bei der Berechnung der Monatszinsen wird der Monat mit 360/12 Tagen berechnet (Amtsblatt der Europäischen Gemeinschaften vom 1.4.98).
Der Zinssatz p ist ebenfalls immer auf ein Jahr bezogen wenn nichts anderes angegeben (z. B. pro Monat).

Das Kapital K kann je nach Problemstellung unterschieden werden in

Anfangskapital $K_{a}$ , das K entspricht und
Endkapital $K_{e}$ , das sich aus $K_{e}=K_{a}+Z$ errechnet.

Beispiele

Ein Bankkunde legt 5000 € für 4 Jahre mit einem Zinssatz von 6% an. Wie viele Zinsen erhält er?

gegeben:
 K = 5000 €
 p = 6%
 t = 4 Jahre 

gesucht: Z

Berechnung:

 ${\frac {Z}{p}}={\frac {K\cdot t}{100}}$ 


wird umgestellt nach Z:

 $Z={\frac {K\cdot p\cdot t}{100}}$ 

 $Z={\frac {5000\cdot 6\cdot 4}{100}}$ 

 ${\underline {Z=1200}}{\text{ Euro}}$  (Die Berechnung des Zinseszins ist dabei nicht berücksichtigt!)


Wieviele Zinsen sind in dem Beispiel vom 1. September bis 31. Dezember (=122 Tagen) angefallen ?

 $Z={\frac {K\cdot p\cdot t}{100}}$  → ersetzen von t mit  ${\frac {t}{360}}$  →  $Z={{K\cdot p\cdot t} \over {100\cdot 360}}$ 

 $Z={{5000\cdot 6\cdot 122} \over {100\cdot 360}}$ 

 ${\underline {Z=101{,}67}}{\text{ Euro}}$

Ein Betrag von 10.000 € wird kurzfristig angelegt. Nach 90 Tagen erhält der Kunde inklusive
Zinsen 10.192 € zurück. Wie hoch ist der Zinssatz? 

gegeben:
 K = 10.000 €
 t = 90 Tage
  $K_{e}=10192{\text{ Euro}}$ 
  $K_{a}=10000{\text{ Euro}}$ 
 
 Die Zinsen Z müssen aus dem Anfangskapital und der Auszahlung zunächst berechnet werden:
  $Z=K_{e}-K_{a}$ 
  $Z=10192{\text{ Euro}}-10000{\text{ Euro}}$ 
 Z = 192 €

gesucht: 
 p

Berechnung:

 $p={\frac {Z\cdot 100\cdot 360}{K\cdot t}}$ 

 $p={\frac {192\cdot 100\cdot 360}{10.000\cdot 90}}$ 

 ${\underline {p=7{,}68\%}}$

Ein verliehener Betrag wird nach 61 Tagen zusammen mit 30,08 € Zinsen zurückgezahlt.
Der vereinbarte Zinssatz beträgt 9%. Wie hoch war der verliehene Betrag? 

gegeben:
  Z = 30,08 € 
  p = 9%
  t = 61 Tage 

gesucht:
 K
 

Berechnung:

 $K={\frac {Z\cdot 100\cdot 360}{p\cdot t}}$ 

 $K={\frac {30{,}08\cdot 100\cdot 360}{9\cdot 61}}$ 

 ${\underline {K=1972{,}46}}{\mbox{ Euro}}$

20.000 € werden mit 5,0% (pro Jahr) verzinst. Nach wieviel Tagen sind die Zinsen auf 260 € 
gestiegen?

gegeben:
  K = 20.000 € 
  p = 5,0%
  Z = 260 € 

gesucht:
 t
 

Berechnung:

 $t={\frac {Z\cdot 100\cdot 360}{K\cdot p}}$ 

 $t={\frac {260\cdot 100\cdot 360}{20.000\cdot 5{,}0}}$ 

 ${\underline {t=94}}{\text{ Tage}}$

Zinseszins

Verbleibt der jährliche Zinsertrag auf dem Konto und wird bis zum Ende der Laufzeit mit dem gleichen Satz verzinst wie das Anfangskapital, dann spricht man von Zinseszins. Die Berechnung des Endkapitals ändert sich dann wie folgt: Der jährliche Zinsertrag wird zum Anfangskapital $K_{0}$ addiert. Dieser Gesamtbetrag wird zum neuen Anfangskapital $K_{1}$ für das folgende Jahr usw.

$K_{1}=K_{0}+Z=K_{0}\cdot \left\{1+{p \over 100}\right\}\Rightarrow K_{2}=K_{1}+Z=K_{1}\cdot \left\{1+{p \over 100}\right\}{\text{usw.}}$
Das kann zusammengefasst werden zu:
$K_{t}=K_{0}\cdot \left\{1+{p \over 100}\right\}^{t}$
Das heißt z. B. nach 4 Jahren beträgt das Kapital bei 5% Zinsen einschließlich Zinseszins $1{,}05^{4}\cdot K_{0}.$ Das sind rund $1,22\cdot {\text{Anfangskapital}}$ .

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K=Kapital Z=Zinsen P=Zinssatz