Mathematik: Topologie: Inneres, Abschluss, Rand

Die Konzepte des Inneren, des Abschlusses und des Randes kommen aus der geometrischen Anschauung. Der Rand eines Objektes sind die Punkte, die beliebig Nahe am Komplement der Menge sowie an der Menge selber liegen, das Innere sind die Punkte ohne den Rand, der Abschluss die Menge mitsamt dem Rand.

Topologisch ausgedrückt: Das Innere ist die größte offene Menge, die noch ganz in einer Menge enthalten ist, der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die Menge enthält, und der Rand sind alle Punkte, für die alle Umgebungen die Menge sowie ihr Komplement schneiden.

Definition: Inneres

Sei $M\subseteq X$ eine Teilmenge eines topologischen Raumes. Dann ist $\bigcup \{U\ |\ U\in {\mathcal {O}}(X),U\subseteq M\}$ das Innere von M. Wir bezeichnen das Innere von M mit $M^{\circ }$.

Definition: Abschluss

Sei $M\subseteq X$ eine Teilmenge eines topologischen Raumes. Dann ist $\bigcap \{A\ |\ A^{C}\in {\mathcal {O}}(X),M\subseteq A\}$ der Abschluss von M. Wir bezeichnen den Abschluss von M mit ${\overline {M}}$.

Definition: Rand

Sei $M\subseteq X$ eine Teilmenge eines topologischen Raumes. Dann ist $\{x\in X\ |\ \forall U\in {\mathfrak {U}}(x):U\cap M\neq \emptyset \wedge U\cap M^{C}\neq \emptyset \}$ der Rand von M. Wir bezeichnen den Rand von M mit $\partial M$.

Offensichtlich ist das Innere einer Menge offen (da Vereinigungen offener Mengen offen sind), und der Abschluss abgeschlossen (da Schnitte abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind). Wir erhalten die folgenden (intuitiven) Formeln für diese drei Begriffe:

Proposition: Abschluss, Inneres und Rand

Für eine Teilmenge M eines topologischen Raumes gelten folgende Zusammenhänge: $M^{\circ }=M\setminus \partial M$ (Inneres) ${\overline {M}}=M\cup \partial M$ (Abschluss) $\partial M={\overline {M}}\setminus M^{\circ }$

Beweis

Es ist offensichtlich, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie gleich ihrem Inneren ist. Genauso ist eine Menge genau dann abgeschlossen, wenn sie gleich ihrem Abschluss ist.