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Die Kompaktheit ist eine Endlichkeitsaussage für Teilmengen topologischer Räume.
Definition: Quasikompakt
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Ein topologischer Raum heißt quasikompakt, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung enthält, in Formeln: Es gibt eine endliche Teilmenge , so daß . Eine Teilmenge eines Raumes heißt quasikompakt, wenn sie als Unterraum von quasikompakt ist.
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Definition: Kompaktheit
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Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn er quasikompakt und hausdorffsch ist. Wie vorher ist eine Teilmenge eines Raumes kompakt, wenn sie als Unterraum von kompakt ist. Eine Teilmenge von heißt relativ kompakt, wenn der Abschluß kompakt ist.
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Bemerkung: Ein kompakter Raum ist quasikompakt.
Satz: Ein Raum
ist genau dann quasikompakt, wenn jede Familie
abgeschlossener Teilmengen
von
mit
bereits endlich viele Mengen
enthält mit
.
Beweis: Sei zunächst
quasikompakt und
eine Familie abgeschlossener Mengen mit
. Dann sind die Mengen
offen für alle
und die Familie
ist eine offene Überdeckung von
wegen
. Da
quasikompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung
von
. Dann ist aber
. Die Mengen
bilden also die endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt.
Das war die eine Richtung. Nehmen wir nun an, daß es für jede Familie abgeschlossener Mengen mit leerem Durchschnitt bereits eine endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt gibt. Sei weiter
eine offene Überdeckung von
. Dann sind die Mengen
abgeschlossen, und es gilt
. Die Familie der
hat also leeren Durchschnitt, und es gibt eine endliche Teilfamilie
mit leerem Durchschnitt. Dann ist aber
, und das bedeutet, daß die
die gesuchte endliche Teilüberdeckung bilden.
Satz: Ein topologischer Raum
ist genau dann quasikompakt, wenn jeder Ultrafilter konvergiert.
Beweis: Sei zunächst
quasikompakt und
ein Ultrafilter auf
. Da
ein Filter ist, ist für jede Filtermenge
auch der Abschluß
eine Filtermenge. Wäre der Durchschnitt
, so gäbe es nach dem vorangegangenen Satz bereits endlich viele Filtermengen
mit leerem Durchschnitt. Da endliche Durchschnitte von Filtermengen aber selbst wieder Filtermengen sind, wäre dann die leere Menge eine Filtermenge, was der Definition eines Filters widerspricht. Es folgt also
. Sei nun
. Dann ist
für alle Umgebungen
von
und alle Filtermengen
. Die Menge
bildet daher die Basis eines Filters
. Nach Definition von
gehören alle Umgebungen zu
, und das bedeutet, daß
gegen
konvergiert. Andererseits gehören alle Filtermengen von
zu
, und das heißt, daß
feiner als
ist. Da
ein Ultrafilter ist, folgt
und damit die Konvergenz von
.
Konvergiere jetzt jeder Ultrafilter auf
, und sei
eine offene Überdeckung von
. Nehmen wir an, daß es keine endliche Teilüberdeckung gibt. Dann ist
für alle endlichen Teilmengen
. Daraus folgt
für alle endlichen Teilmengen
. Sind
zwei endliche Teilmengen von
, so ist
. Die Menge
ist also die Basis eines Filters
auf
. Sei weiter
ein Ultrafilter, der
enthält. Dann konvergiert
nach Voraussetzung gegen einen Punkt
. Da die
eine Überdeckung von
bilden, gibt es ein
, so daß
.
ist damit eine Umgebung von
, und wegen der Konvergenz von
muß
sein. Nun ist aber
eine endliche Teilmenge von
, und folglich ist auch
. Mit
und
folgt dann
im Widerspruch zur Definition des Filters. Es muß also eine endliche Teilüberdeckung der
geben. Der Raum
ist also quasikompakt.
Satz: Abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Räume sind quasikompakt.
Beweis: Sei
eine abgeschlossene Teilmenge des quasikompakten Raumes
. Sei weiter
eine offene Überdeckung von
. Nimmt man zu dieser Familie noch das offene Komplement
von
hinzu, so erhält man eine offene Überdeckung von
. Da
quasikompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von X, die insbesondere auch eine Überdeckung von
ist.
Für den Beweis der anderen Richtung braucht man die Hausdorff-Eigenschaft.
Satz: Kompakte Teilmengen eines Hausdorff-Raumes sind abgeschlossen.
Beweis: Sei
eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes
. Sei weiter
irgendein Punkt im Komplement von
. Da
hausdorffsch ist, gibt es für jeden Punkt
offene Umgebungen
von
und
von
mit
. Die Familie
der Umgebungen
für alle Punkte
ist eine offene Überdeckung von
. Nun ist
kompakt und wird daher von endlich vielen dieser Umgebungen
überdeckt. Sei
der Durchschnitt der entsprechenden Umgebungen
von
. Als endlicher Durchschnitt offener Umgebungen ist
ebenfalls eine offene Umgebung von
. Wegen
ist
für alle
. Da die
eine Überdeckung von
bilden, ist auch
, also
.
enthält also mit jedem Punkt
auch noch eine offene Umgebung
von
und ist damit offen. Also ist
wie behauptet abgeschlossen.
Diese beiden Sätze ergeben zusammen den
Satz: Teilmengen eines kompakten Raumes sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen sind.
Satz: Jeder kompakte Raum ist normal.
Beweis: Seien
disjunkte abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raumes
. Es ist zu zeigen, daß es zwei disjunkte offene Umgebungen von
und
gibt. Sei zunächst
ein fester Punkt in
. Nun ist
ein Hausdorff-Raum. Für jeden Punkt
gibt es daher zwei disjunkte offene Mengen
und
mit
. Offensichtlich bilden die Mengen
eine offene Überdeckung von
. Wegen der Kompaktheit von
ist die abgeschlossene Menge
ebenfalls kompakt, so daß es eine endliche Teilüberdeckung
von
gibt. Dann ist der endliche Durchschnitt
der entsprechenden offenen Umgebungen
von
ebenfalls eine offene Umgebung von
. Für alle
ist
. Daraus folgt
und weiter
. Wir haben damit für jeden Punkt
disjunkte offene Mengen
und
gefunden mit
und
. Jetzt drehen wir den Spieß um und betrachten die offene Überdeckung
von
.
ist abgeschlossen und damit kompakt. Es gibt also eine endliche Teilüberdeckung
von
. Wir definieren nun
. Dann ist
als endlicher Durchschnitt offener Mengen offen. Weiter gilt
wegen
für alle
. Nun ist
für alle
, und es folgt
für alle
und damit auch
. Schließlich setzen wir
, und haben damit die gesuchten offenen Mengen
mit
und
.
Satz: Sei
ein quasikompakter Raum und
eine stetige Abbildung. Dann ist
quasikompakt.
Beweis: Sei
eine offene Überdeckung von
. Wegen der Stetigkeit sind die Mengen
offen, und
ist eine offene Überdeckung von
. Da
quasikompakt ist, gibt es eine offene Teilüberdeckung
von
. Die Mengen
bilden dann eine endliche Teilüberdeckung von
.
Satz: Für je zwei reelle Zahlen
ist das abgeschlossene Intervall
kompakt.
Beweis: Die reellen Zahlen sind hausdorffsch und damit auch jedes Intervall. Seien nun
zwei reelle Zahlen. Es bleibt noch zu zeigen, daß das Intervall
quasikompakt ist. Dazu sei
eine offene Überdeckung des Intervalls. Betrachte nun die Menge aller Zahlen
, für die das Intervall
in einer endlichen Teilüberdeckung enthalten ist, also
. Wegen
gibt es einen Index
mit
. Die Menge
ist also nicht leer. Ist
, so ist
für geeignete
. Dann ist für alle
wegen
auch
. Anders formuliert ist mit jedem
auch
. Sei
die kleinste obere Schranke von
. Nun ist auf jeden Fall
eine obere Schranke von
, und daher ist
bzw.
. Es gibt also ein
, so daß
. Da
offen ist, gibt es ein in
offenes Intervall
. Jetzt ist aber
die kleinste obere Schranke von
, und das bedeutet
, also
für geeignete Mengen
. Daraus folgt
. Das Intervall
wird also von endlich vielen der
überdeckt, und damit ist
. Wäre nun
, könnte man
so wählen, daß auch
ist. Wegen
wäre dann aber auch
, also
im Widerspruch dazu, daß
eine obere Schranke von
ist. Es folgt
, und das bedeutet, daß
von endlich vielen der
überdeckt wird. Das Intervall
ist also quasikompakt.
Satz: Sei
ein topologischer Raum und
eine Subbasis der Topologie.
ist genau dann quasikompakt, wenn jede Überdeckung
von
mit Mengen
der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung von
enthält.
Beweis: Wenn
quasikompakt ist, enthält jede offene Überdeckung, und damit auch insbesondere jede Überdeckung mit Mengen der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung.
Sei also nun
ein Raum mit einer Subbasis
, so daß jede Überdeckung mit Mengen aus
eine endliche Teilüberdeckung enthält. Wir wollen zeigen, daß jeder Ultrafilter auf
konvergiert. Nehmen wir an, daß es einen Ultrafilter
auf
gibt, der nicht konvergiert. Dann gibt es für jeden Punkt
eine offene Umgebung
, die nicht zu
gehört. Nun bilden die endlichen Durchschnitte von Mengen der Subbasis eine Basis der Topologie. Es gibt also endlich viele Mengen
mit
. Wegen
ist auch
. Dann muß es aber mindestens ein
geben mit
. Es gibt also für jedes
ein
mit
. Die Familie
bildet eine Überdeckung mit Mengen der Subbasis. Nach Voraussetzung gibt es eine endliche Teilüberdeckung
.
ist ein Ultrafilter, und daher gilt für jede Teilmenge
entweder
oder
. in unserem Fall folgt
für alle
. Nun ist aber
und damit
. Zusammen erhält man daraus
im Widerspruch zur Definition des Filters. Daher kann es keinen nicht konvergenten Ultrafilter geben,
ist also quasikompakt.
Satz (Tychonoff): Sei
ein nicht-leeres Produkt topologischer Räume.
ist genau dann quasikompakt, wenn alle
quasikompakt sind.
Beweis: Da
ist, sind nach Definition des Produktes die Projektionen
surjektiv. Nach Definition der Produkttopologie sind sie auch stetig. Ist
quasikompakt, dann sind die
als Bild des quasikompakten Raumes
ebenfalls quasikompakt.
Seien nun die Räume
quasikompakt. Wir betrachten die Subbasis
der Produkttopologie. Nach dem vorigen Satz reicht es zu zeigen, daß jede Überdeckung mit Mengen dieser Subbasis eine endliche Teilüberdeckung enthält. Sei
eine Überdeckung von
mit
. Für ein festes
betrachte die Familie
aller in
offenen Teilmengen
mit
für ein
. Wäre diese Familie eine Überdeckung von
, so gäbe es wegen der Quasikompaktheit von
eine endliche Teilüberdeckung
von
. Dann wäre aber bereits
eine endliche Teilüberdeckung von
, und wir wären fertig. Wir können also annehmen, daß die Familie
für kein
eine Überdeckung ist. Für jedes
gibt es daher ein
, das nicht in einer der Mengen aus
liegt. Sei nun der Punkt
gegeben durch die Familie
. Dann ist
für alle
. Es gibt nun ein
mit
, da die Mengen
eine Überdeckung von
bilden.
ist eine Menge der Subbasis und ist damit von der Form
für einen Index
und eine offene Menge
. Dann ist aber
im Widerspruch zur Wahl von
. Unsere Annahme, daß die Familien
für kein
eine Überdeckung bilden, ist also falsch. Daher enthält unsere ursprüngliche Überdeckung
eine endliche Teilüberdeckung, und
ist damit quasikompakt.
Satz (Heine-Borel): Eine Teilmenge des
ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Beweis: Sei zunächst
kompakt. Da der
hausdorffsch ist, ist
nach einem der vorhergehenden Sätze abgeschlossen. Betrachten wir nun für alle natürlichen Zahlen
die offenen Kugeln
vom Radius
um den Ursprung. Die Familie
aller dieser Kugeln bildet eine offene Überdeckung des
, und die Durchschnitte
dieser Kugeln mit der Menge
bilden dann eine offene Überdeckung von
. Da
kompakt ist, reichen endlich viele dieser Mengen aus, um
zu überdecken. Sei
der größte auftretende Radius aller Kugeln der endlichen Überdeckung. Da die Kugeln ineinanderliegen, folgt
.
ist also in der Kugel mit Radius
enthalten, und das bedeutet, daß
beschränkt ist.
Sei nun
abgeschlossen und beschränkt. Die Hausdorff-Eigenschaft ist klar. Wegen der Beschränktheit ist
in einem Würfel
der Kantenlänge
enthalten. Dieser Würfel ist aber das Produkt
der abgeschlossenen Intervalle
.
Daß die abgeschlossenen Intervalle
kompakt sind, haben wir bereits bewiesen, und nach dem Satz von Tychonoff ist dann auch der Würfel kompakt. Nun ist aber
als abgeschlossene Teilmenge des kompakten Würfels ebenfalls kompakt.
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