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Mathematik: Topologie: Kompaktheit

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Kompakte Räume[Bearbeiten]

Die Kompaktheit ist eine Endlichkeitsaussage für Teilmengen topologischer Räume.

Definition: Überdeckung
Sei Teilmenge eines topologischen Raumes und eine beliebige Indexmenge.

Eine Familie von Teilmengen heißt Überdeckung von , wenn in der Vereinigung der enthalten ist, also .

Die Überdeckung heißt offen (abgeschlossen), wenn alle offen (abgeschlossen) sind.

Definition: Quasikompakt
Ein topologischer Raum heißt quasikompakt, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung enthält, in Formeln: Es gibt eine endliche Teilmenge , so daß . Eine Teilmenge eines Raumes heißt quasikompakt, wenn sie als Unterraum von quasikompakt ist.
Definition: Kompaktheit
Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn er quasikompakt und hausdorffsch ist. Wie vorher ist eine Teilmenge eines Raumes kompakt, wenn sie als Unterraum von kompakt ist. Eine Teilmenge von heißt relativ kompakt, wenn der Abschluß kompakt ist.

Bemerkung: Ein kompakter Raum ist quasikompakt.


Satz: Ein Raum ist genau dann quasikompakt, wenn jede Familie abgeschlossener Teilmengen von mit bereits endlich viele Mengen enthält mit .

Beweis: Sei zunächst quasikompakt und eine Familie abgeschlossener Mengen mit . Dann sind die Mengen offen für alle und die Familie ist eine offene Überdeckung von wegen . Da quasikompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von . Dann ist aber . Die Mengen bilden also die endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt.

Das war die eine Richtung. Nehmen wir nun an, daß es für jede Familie abgeschlossener Mengen mit leerem Durchschnitt bereits eine endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt gibt. Sei weiter eine offene Überdeckung von . Dann sind die Mengen abgeschlossen, und es gilt . Die Familie der hat also leeren Durchschnitt, und es gibt eine endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt. Dann ist aber , und das bedeutet, daß die die gesuchte endliche Teilüberdeckung bilden.


Satz: Ein topologischer Raum ist genau dann quasikompakt, wenn jeder Ultrafilter konvergiert.

Beweis: Sei zunächst quasikompakt und ein Ultrafilter auf . Da ein Filter ist, ist für jede Filtermenge auch der Abschluß eine Filtermenge. Wäre der Durchschnitt , so gäbe es nach dem vorangegangenen Satz bereits endlich viele Filtermengen mit leerem Durchschnitt. Da endliche Durchschnitte von Filtermengen aber selbst wieder Filtermengen sind, wäre dann die leere Menge eine Filtermenge, was der Definition eines Filters widerspricht. Es folgt also . Sei nun . Dann ist für alle Umgebungen von und alle Filtermengen . Die Menge bildet daher die Basis eines Filters . Nach Definition von gehören alle Umgebungen zu , und das bedeutet, daß gegen konvergiert. Andererseits gehören alle Filtermengen von zu , und das heißt, daß feiner als ist. Da ein Ultrafilter ist, folgt und damit die Konvergenz von .

Konvergiere jetzt jeder Ultrafilter auf , und sei eine offene Überdeckung von . Nehmen wir an, daß es keine endliche Teilüberdeckung gibt. Dann ist für alle endlichen Teilmengen . Daraus folgt für alle endlichen Teilmengen . Sind zwei endliche Teilmengen von , so ist . Die Menge ist also die Basis eines Filters auf . Sei weiter ein Ultrafilter, der enthält. Dann konvergiert nach Voraussetzung gegen einen Punkt . Da die eine Überdeckung von bilden, gibt es ein , so daß . ist damit eine Umgebung von , und wegen der Konvergenz von muß sein. Nun ist aber eine endliche Teilmenge von , und folglich ist auch . Mit und folgt dann im Widerspruch zur Definition des Filters. Es muß also eine endliche Teilüberdeckung der geben. Der Raum ist also quasikompakt.


Satz: Abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Räume sind quasikompakt.

Beweis: Sei eine abgeschlossene Teilmenge des quasikompakten Raumes . Sei weiter eine offene Überdeckung von . Nimmt man zu dieser Familie noch das offene Komplement von hinzu, so erhält man eine offene Überdeckung von . Da quasikompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von X, die insbesondere auch eine Überdeckung von ist.


Für den Beweis der anderen Richtung braucht man die Hausdorff-Eigenschaft.

Satz: Kompakte Teilmengen eines Hausdorff-Raumes sind abgeschlossen.

Beweis: Sei eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes . Sei weiter irgendein Punkt im Komplement von . Da hausdorffsch ist, gibt es für jeden Punkt offene Umgebungen von und von mit . Die Familie der Umgebungen für alle Punkte ist eine offene Überdeckung von . Nun ist kompakt und wird daher von endlich vielen dieser Umgebungen überdeckt. Sei der Durchschnitt der entsprechenden Umgebungen von . Als endlicher Durchschnitt offener Umgebungen ist ebenfalls eine offene Umgebung von . Wegen ist für alle . Da die eine Überdeckung von bilden, ist auch , also . enthält also mit jedem Punkt auch noch eine offene Umgebung von und ist damit offen. Also ist wie behauptet abgeschlossen.


Diese beiden Sätze ergeben zusammen den

Satz: Teilmengen eines kompakten Raumes sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen sind.


Satz: Jeder kompakte Raum ist normal.

Beweis: Seien disjunkte abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raumes . Es ist zu zeigen, daß es zwei disjunkte offene Umgebungen von und gibt. Sei zunächst ein fester Punkt in . Nun ist ein Hausdorff-Raum. Für jeden Punkt gibt es daher zwei disjunkte offene Mengen und mit . Offensichtlich bilden die Mengen eine offene Überdeckung von . Wegen der Kompaktheit von ist die abgeschlossene Menge ebenfalls kompakt, so daß es eine endliche Teilüberdeckung von gibt. Dann ist der endliche Durchschnitt der entsprechenden offenen Umgebungen von ebenfalls eine offene Umgebung von . Für alle ist . Daraus folgt und weiter . Wir haben damit für jeden Punkt disjunkte offene Mengen und gefunden mit und . Jetzt drehen wir den Spieß um und betrachten die offene Überdeckung von . ist abgeschlossen und damit kompakt. Es gibt also eine endliche Teilüberdeckung von . Wir definieren nun . Dann ist als endlicher Durchschnitt offener Mengen offen. Weiter gilt wegen für alle . Nun ist für alle , und es folgt für alle und damit auch . Schließlich setzen wir , und haben damit die gesuchten offenen Mengen mit und .


Satz: Sei ein quasikompakter Raum und eine stetige Abbildung. Dann ist quasikompakt.

Beweis: Sei eine offene Überdeckung von . Wegen der Stetigkeit sind die Mengen offen, und ist eine offene Überdeckung von . Da quasikompakt ist, gibt es eine offene Teilüberdeckung von . Die Mengen bilden dann eine endliche Teilüberdeckung von .


Satz: Für je zwei reelle Zahlen ist das abgeschlossene Intervall kompakt.

Beweis: Die reellen Zahlen sind hausdorffsch und damit auch jedes Intervall. Seien nun zwei reelle Zahlen. Es bleibt noch zu zeigen, daß das Intervall quasikompakt ist. Dazu sei eine offene Überdeckung des Intervalls. Betrachte nun die Menge aller Zahlen , für die das Intervall in einer endlichen Teilüberdeckung enthalten ist, also . Wegen gibt es einen Index mit . Die Menge ist also nicht leer. Ist , so ist für geeignete . Dann ist für alle wegen auch . Anders formuliert ist mit jedem auch . Sei die kleinste obere Schranke von . Nun ist auf jeden Fall eine obere Schranke von , und daher ist bzw. . Es gibt also ein , so daß . Da offen ist, gibt es ein in offenes Intervall . Jetzt ist aber die kleinste obere Schranke von , und das bedeutet , also für geeignete Mengen . Daraus folgt . Das Intervall wird also von endlich vielen der überdeckt, und damit ist . Wäre nun , könnte man so wählen, daß auch ist. Wegen wäre dann aber auch , also im Widerspruch dazu, daß eine obere Schranke von ist. Es folgt , und das bedeutet, daß von endlich vielen der überdeckt wird. Das Intervall ist also quasikompakt.


Satz: Sei ein topologischer Raum und eine Subbasis der Topologie. ist genau dann quasikompakt, wenn jede Überdeckung von mit Mengen der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung von enthält.

Beweis: Wenn quasikompakt ist, enthält jede offene Überdeckung, und damit auch insbesondere jede Überdeckung mit Mengen der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung.

Sei also nun ein Raum mit einer Subbasis , so daß jede Überdeckung mit Mengen aus eine endliche Teilüberdeckung enthält. Wir wollen zeigen, daß jeder Ultrafilter auf konvergiert. Nehmen wir an, daß es einen Ultrafilter auf gibt, der nicht konvergiert. Dann gibt es für jeden Punkt eine offene Umgebung , die nicht zu gehört. Nun bilden die endlichen Durchschnitte von Mengen der Subbasis eine Basis der Topologie. Es gibt also endlich viele Mengen mit . Wegen ist auch . Dann muß es aber mindestens ein geben mit . Es gibt also für jedes ein mit . Die Familie bildet eine Überdeckung mit Mengen der Subbasis. Nach Voraussetzung gibt es eine endliche Teilüberdeckung . ist ein Ultrafilter, und daher gilt für jede Teilmenge entweder oder . in unserem Fall folgt für alle . Nun ist aber und damit . Zusammen erhält man daraus im Widerspruch zur Definition des Filters. Daher kann es keinen nicht konvergenten Ultrafilter geben, ist also quasikompakt.


Satz (Tychonoff): Sei ein nicht-leeres Produkt topologischer Räume. ist genau dann quasikompakt, wenn alle quasikompakt sind.

Beweis: Da ist, sind nach Definition des Produktes die Projektionen surjektiv. Nach Definition der Produkttopologie sind sie auch stetig. Ist quasikompakt, dann sind die als Bild des quasikompakten Raumes ebenfalls quasikompakt.

Seien nun die Räume quasikompakt. Wir betrachten die Subbasis der Produkttopologie. Nach dem vorigen Satz reicht es zu zeigen, daß jede Überdeckung mit Mengen dieser Subbasis eine endliche Teilüberdeckung enthält. Sei eine Überdeckung von mit . Für ein festes betrachte die Familie aller in offenen Teilmengen mit für ein . Wäre diese Familie eine Überdeckung von , so gäbe es wegen der Quasikompaktheit von eine endliche Teilüberdeckung von . Dann wäre aber bereits eine endliche Teilüberdeckung von , und wir wären fertig. Wir können also annehmen, daß die Familie für kein eine Überdeckung ist. Für jedes gibt es daher ein , das nicht in einer der Mengen aus liegt. Sei nun der Punkt gegeben durch die Familie . Dann ist für alle . Es gibt nun ein mit , da die Mengen eine Überdeckung von bilden. ist eine Menge der Subbasis und ist damit von der Form für einen Index und eine offene Menge . Dann ist aber im Widerspruch zur Wahl von . Unsere Annahme, daß die Familien für kein eine Überdeckung bilden, ist also falsch. Daher enthält unsere ursprüngliche Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung, und ist damit quasikompakt.


Satz (Heine-Borel): Eine Teilmenge des ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Beweis: Sei zunächst kompakt. Da der hausdorffsch ist, ist nach einem der vorhergehenden Sätze abgeschlossen. Betrachten wir nun für alle natürlichen Zahlen die offenen Kugeln vom Radius um den Ursprung. Die Familie aller dieser Kugeln bildet eine offene Überdeckung des , und die Durchschnitte dieser Kugeln mit der Menge bilden dann eine offene Überdeckung von . Da kompakt ist, reichen endlich viele dieser Mengen aus, um zu überdecken. Sei der größte auftretende Radius aller Kugeln der endlichen Überdeckung. Da die Kugeln ineinanderliegen, folgt . ist also in der Kugel mit Radius enthalten, und das bedeutet, daß beschränkt ist.

Sei nun abgeschlossen und beschränkt. Die Hausdorff-Eigenschaft ist klar. Wegen der Beschränktheit ist in einem Würfel der Kantenlänge enthalten. Dieser Würfel ist aber das Produkt der abgeschlossenen Intervalle . Daß die abgeschlossenen Intervalle kompakt sind, haben wir bereits bewiesen, und nach dem Satz von Tychonoff ist dann auch der Würfel kompakt. Nun ist aber als abgeschlossene Teilmenge des kompakten Würfels ebenfalls kompakt.


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