Mathematik: Topologie: Quotiententopologie

Wie bei der Produkttopologie konstruiert man die Quotiententopologie so, dass die Projektion auf den Quotientenraum stetig wird, und zwar so, dass man sich an der Grenze zur Nichtstetigkeit befindet. Da für die Stetigkeit Urbilder offener Mengen offen sein müssen, ist Stetigkeit umso leichter zu zeigen, je weniger offene Mengen es im Bildraum gibt. Daher definiert man so viele Mengen wie möglich als offen, ohne dass die Stetigkeit der Projektion aufgegeben werden muss.

Definition: Quotiententopologie

Sei $(X,{\mathcal {O}})$ ein topologischer Raum und $\sim \subseteq X\times X$ eine Äquivalenzrelation auf X. Sei $X/\sim$ der zugehörige Quotientenraum. Die Quotiententopologie auf $X/\sim$ ist die feinste Topologie, bezüglich der die Projektion $\pi _{\sim }:X\rightarrow X/\sim$ stetig ist.

Die Urbilder einer Menge im Quotientenraum sind sogenannte gesättigte Mengen in X. Gesättigte Mengen sind Vereinigungen von Äquivalenzklassen. Damit das Urbild einer Menge offen ist, muss die zugehörige gesättigte Menge also offen in X sein:

Proposition: Charakterisierung der Quotiententopologie

Die Menge $A\subseteq X/\sim$ ist genau dann offen in der Quotiententopologie, wenn die Menge $\bigcup _{a\in A}[a]$ offen in X ist. Hierbei bezeichnet $[a]$ die Äquivalenzklasse von a in X.

Beweis

Beispiele

Beispiel: Zusammenkleben des Kreises

Die Quotiententopologie kann zum Zusammenkleben von Punkten verwendet werden. Betrachte das abgeschlossene Intervall $[0,2\pi ]$ mit der vom metrischen Raum $\mathbb {R}$ induzierten Topologie. Zum Zusammenkleben betrachten wir die Äquivalenzrelation ~, die nur jeden Punkt mit sich sowie 0 und $2\pi$ in Relation setzt. Offene Mengen, die die Äquivalenzklasse $\{0,2\pi \}$ enthalten, sind die Klassen, die eine offene Umgebung der 0 sowie eine offene Umgebung von $2\pi$ enthalten. Man kann zeigen, dass der Quotientenraum homöomorph zum Einheitskreis $\mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|=1\}$ ist. Dies ist ein Beispiel dafür, dass die Quotiententopologie unsere Intuition des Zusammenklebens trifft.