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K5: Bedingte Verteilung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

5. Simultane Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5.2 Bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Bei der simultane Verteilung zweier Zufallsvariablen X und Y können wir auch bedingte Wahrscheinlichkeiten auf Werte einer der Variablen, vorausgesetzt ein Wert der andere Variable betrachten, z.B. P(X=3|Y=0). Es betrifft eine gewöhnliche bedingte Wahrscheinlichkeit vom Ereignis {X=3}, vorausgesetzt dem Ereignis {Y=0}, definiert wenn P(Y=0) > 0, durch:

P(X=3|Y=0)={\frac {P(X=3,Y=0)}{P(Y=0)}}

.

Unter der Bedingung {Y=0} hat die Variable X eine beschränkte Verteilung, die wir die bedingte Verteilung von X, vorausgesetzt Y=0, nennen. Wir werden zuerst ein Beispiel besprechen.

Beispiel 1

Die simultane Verteilung von X und Y wird gegeben durch:

P(X=x,Y=y)={\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}

, für x = 1,2,... und y = 2,3,...

Wir können nun für y = 2,3,... die bedingte Verteilung von X, vorausgesetzt Y=y, bestimmen:

P(X=x|Y=y)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {{\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}}{P(Y=y)}}

, für x = 1,2,...

Weil

P(Y=y)=\sum _{x=1}^{\infty }{\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}={\tfrac {1}{y}}({\tfrac {1}{2}})^{y}\sum _{x=1}^{\infty }(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}=({\tfrac {1}{2}})^{y}

,

ist:

P(X=x|Y=y)={\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}

, für x = 1,2,...

Daraus zeigt sich, dass X, unter die Bedingung Y=y, geometrisch Verteilt ist mit Parameter 1/y.

Eine allgemeine Definition ist:

Definition 5.2.1

Es seien X, Y und Z die Komponente eines stochastischen Vektors V. Unter die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, vorausgesetzt (dass) Y=y und Z=z, verstehen wir die Funktion: p_X( · |Y=y, Z=z), definiert (wenn der Nenner ≠ 0) durch:

p_{X}(x|Y=y,Z=z)=P(X=x|Y=y,Z=z)={\frac {p_{X,Y,Z}(x,y,z)}{p_{Y,Z}(y,z)}}

.

Beispiel 2 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Die bedingte Verteilung der Gesamtaugenzahl Z, vorausgesetzt das maximale Augenzahl sei M=3, können wir also bestimmen aus der Zeile m=3 in der Tabelle der simultane Verteilung von Z und M. Diese Zeile ist hierunter noch mal aufgeschrieben.


$z$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$m$												$P(M=m)$

3			2/36	2/36	1/36							5/36

Wir berechnen z.B.:

p_{Z}(5|M=3)=P(Z=5|M=3)={\frac {P(Z=5,M=3)}{P(M=3)}}={\tfrac {2/36}{5/36}}={\tfrac {2}{5}}

.

Wir dividieren also jedes Element der Zeile (die simultane Wahrscheinlichkeit) durch die Zahl im Rand (die Randwahrscheinlichkeit). Auf diese Weise bekommen wir:


$z$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Total

$P(Z=z\|M=3)$	0	0	2/5	2/5	1/5	0	0	0	0	0	0	1

Beispiel 3 (Multinomialverteilung (Fortsetzung))

Wir betrachten den Fall m=3 und nennen die Zufallsvariablen wieder X, Y und Z. Wir stellen n₀ = n₁+ n₂ = n - n₃ und p₀ = p₁ + p₂. Für die bedingte Verteilung von X und Y, vorausgesetzt Z = n₃, finden wir für n₁,n₂ ≥ 0:

p_{X,Y}(n_{1},n_{2}|Z=n_{3})={\frac {p_{X,Y,Z}(n_{1},n_{2},n_{3})}{p_{Z}(n_{3})}}={\frac {{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}p_{3}^{n_{3}}}{{\frac {n!}{n_{0}!n_{3}!}}p_{0}^{n_{0}}p_{3}^{n_{3}}}}={\frac {n_{0}!}{n_{1}!n_{2}!}}\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}\right)^{n_{1}}\left({\frac {p_{2}}{p_{0}}}\right)^{n_{2}}.

Also auch eine Multinomialverteilung (binomial), aber mit Parametern n₀, 2 und p₁/p₀ und p₂/p₀.

In der Praxis werden wir meistens nicht die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen ableiten aus die simultane Verteilung, sondern wird das Experiment bestehen aus hintereinander ausgeführten Teilexperimenten. Die bedingte Verteilungen folgen dann aus der Teilexperimenten, und anschließend berechnen wir aus der bedingten Verteilungen die simultane Verteilung.

Beispiel 4

Wir werfen einen fairen Würfel so lange bis wir 6 werfen. Die Anzahl der benötigten Würfe nennen wir Y. Danach werfen wir den Würfel noch genau so viele Male und notieren die Anzahl Male X dass wir 6 werfen. Das ganze Experiment besteht also aus zwei Teilexperimenten. Das Erste können wir beschreiben durch die Zufallsvariable Y die eine geometrische Verteilung mit Parameter p = 1/6 hat. Das zweite Teilexperiment ist abhängig vom Ersten. Wenn wir beim erste Experiment das Ergebnis Y = y gefunden haben, beschreibt die Zufallsvariable X, mit bedingt, vorausgesetzt Y = y, eine Binomialverteilung mit Parametern y und 1/6, das Zweite. Also ist:

P(Y=y)=({\tfrac {5}{6}})^{y-1}{\tfrac {1}{6}}

, für y = 1,2,...

und

P(X=x|Y=y)={\tbinom {y}{x}}({\tfrac {1}{6}})^{x}({\tfrac {5}{6}})^{y-x}

, für x = 0,1,...,y.

Die simultane Verteilung von X und Y lässt sich nun wie folgt bestimmen:

P(X=x,Y=y)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)={\tbinom {y}{x}}({\tfrac {1}{6}})^{x+1}({\tfrac {5}{6}})^{2y-x-1}

,

für y = 1,2,... und x = 0,1,...,y.