Mathematik: Zahlentheorie: Details zu den Beweisen

Details zu den Beweisen im Kapitel Zahlentheorie

2 ist Primzahl

• "Seien a und b beliebige Zahlen, so dass 2 ein Teiler des Produktes ab ist. Dann gibt es eine Zahl k mit 2k=ab."

Laut Definition von Teilbarkeit gibt es zu a|b eine Zahl c mit ac=b. Ersetze hier a durch 2, b durch ab und c durch k.

• "Es ist zu zeigen, dass 2 ein Teiler von a oder b ist."

Denn dann haben wir die in der Definition von Primzahlen benutzte Eigenschaft gezeigt.

• "Ist a durch 2 teilbar, so sind wir fertig."

In der Tat. Es bleibt also nur noch der Fall zu behandeln, dass a nicht durch 2 teilbar ist.

• "Ist dagegen a nicht durch 2 teilbar, so gibt es eine Zahl l mit a=2l+1."

Hierfür benötigt man ein kleines Lemma, welches im Haupttext einfach vorausgesetzt wurde. Hier das Lemma:

Lemma $2\not |a\iff \exists k:a=2k+1$

Beweis: "⇒": Es gilt: a=2k-2k+a=2k+(a-2k). Der zweite Faktor: a-2k ist ungerade, denn wäre er gerade, so wäre a=2k+2l=2(k+l) und damit 2|a im Widerspruch zur Voraussetzung. Wir können aber k so wählen, dass a-2k=1 ist, denn a-1 ist durch 2 teilbar, und damit wählen wir k=(a-1)/2. Hier haben wir ausgenutzt, dass von zwei aufeinander folgenden Zahlen immer eine durch 2 teilbar ist. Dies zeigt man z.B. mit Induktion. "⇐": Angenommen 2|a, dann gibt es ein l mit 2l=a. Setzt man dies auf der rechten Seite ein, erhält man 2l=2k+1 und daraus folgt 2(l-k)=1, d.h. 2|1, was aber ein Widerspruch ist.

• "Zusammen ergibt sich: 2k=(2l+1)b=2lb+b und damit 2k-2lb=2(k-lb)=b."

Die Zahl a=2l+1 wurde in die erste Gleichung 2k=ab eingesetzt und dann umgeformt.

• "Somit ist 2 ein Teiler von b."

2 ist ein Teiler von b heißt ja gerade, es gibt eine Zahl c mit 2c=b. Die Zahl c ist hier k-lb.

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