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Mathematik: Zahlentheorie: Mersennesche und Fermatsche Primzahlen

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Vorbemerkung

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Lemma: Es gilt:

Beweis:

Mersennesche Primzahlen

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Wir fragen, welche Primzahlen der Form es gibt, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Satz: Ist eine Primzahl, so ist auch eine Primzahl.

Beweis: Sei eine Darstellung mit natürlichen Zahlen a,b gegeben. Wir setzen im Lemma , und ein und erhalten, dass . Da als prim vorausgesetzt wurde, folgt oder , also a=1 oder a=n.

Primzahlen der Form heißen Mersennesche Primzahlen.


Fermatsche Primzahlen

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Wir fragen nun nach Primzahlen der Form .

Satz: Ist eine Primzahl, so ist für eine nicht-negative ganze Zahl k.

Beweis: Wir zeigen, dass n keinen ungeraden Teiler größer als 1 hat. Daraus folgt dann, dass n keinen ungeraden Primfaktor enthält, also eine Potenz von 2 ist. Angenommen wir haben mit natürlichen Zahlen a,b. Wir setzen im Lemma , und ein und erhalten, dass . Da als prim vorausgesetzt wurde, folgt - was nicht möglich ist - oder , also b=n und 2a+1=1.

Primzahlen der Form heißen Fermatsche Primzahlen.