Mathematik: Zahlentheorie: Vollkommene Zahlen
Wer schon mal mit den Teilern einer Zahl herumgespielt hat, kam vielleicht auch mal auf die Idee, alle Teiler einer Zahl zusammenzuzählen und zu schauen, was dabei herauskommt. Sicherlich eine Zahl die größer ist, als die Zahl selbst, da diese ja auch ein Teiler von sich selbst ist. Aber was passiert, wenn man alle anderen Teiler zusammenzählt. Kann es passieren, dass diese zusammen gerade wieder die Originalzahl ergeben?
Mit ein wenig ausprobieren wird man feststellen: Ja. Zum Beispiel die Zahl 6 hat diese Eigenschaft: 6=1+2+3. Oder 28=1+2+4+7+14. Die nächste Zahl mit dieser Eigenschaft ist 496 und dann kommt 8128. Die nächste ist schon in Millionengröße.
Bislang kennt man nur gerade vollkommene Zahlen und über diese kennt man schon nahezu alles, was man so wissen will. Unbekannt ist hingegen, ob es eine vollkommene ungerade Zahl gibt. Es wird vermutet, dass sowas nicht existiert und man konnte schon zeigen, dass die Zahl mindestens 300 Stellen hat. Zudem ist unbekannt ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt.
Die geraden vollkommenen Zahlen erhält man so: Man nehme sich eine Primzahl, die sich als 2p-1 schreiben lässt, eine sogenannte Mersenne-Primzahl. Aus dieser lässt sich dann eine vollkommene Zahl basteln: 2p-1(2p-1). Und das Nette ist, dass man jede vollkommene Zahl auf diese Weise erhält. Das kann man auch ein wenig mathematischer in einem Satz formulieren:
Satz:
- Jede gerade vollkommene Zahl lässt sich als 2p-1(2p-1) darstellen.
- 2p-1(2p-1) ist genau dann vollkommen, wenn 2p-1 eine Primzahl ist.
- Jede ungerade vollkommene Zahl hat mindestens drei Primfaktoren. (Beweis durch elementare Abschätzung: (q^(n+1)-1)/(q-1)(p^(m+1)-1)/(p-1) < 2q^np^m, da q/(q-1)p/(p-1) <= 3/2*5/4 < 2)
Beweis: ...