Mathematik für Faule: Differentialräume/ Lokale Struktur von Abhängigen

Satz (Alternative Charakterisierung von diffbaren Abhängigen):

$F:M\to N$ ist genau dann diffbar, wenn sie limestreu ist und es für jedes $p\in M$ eine Koordinatenumgebung $U$ und eine Koordinatenumgebung $V$ von $F(x)$ gibt, sodass $F$ in den Koordinaten von $U$ auf $U\cap F^{-1}(V)$ reell diffbar ist.

Satz (Bilddimensionssatz):

Es sei $F:M\to N$, sodass $dF$ konstante Bilddimension habe. Dann ist $F$ in geeigneten Koordinaten gegeben durch

$(x_{1},\ldots ,x_{m})\to (x_{1},\ldots ,x_{k},0,\ldots ,0)$.

Beweis: Nach Umordnung von (beliebigen) Koordinaten gilt $F(x,y)=(G(x,y),H(x,y))$, wobei $G(\cdot ,y)$ nach $\mathbb {R} ^{k}$ abbildet, wobei $k$ die Bilddimension von $dF$ ist; hierzu ist nur nötig, dass $dG/dx$ invertierbar ist, und dies kann durch geeignete Umordnung der Koordinaten erreicht werden.

Nun hängt aber $dG$ limestreu von $y$ ab, und es ist daher $dG/dx$ auch für nahe $y$ noch invertierbar. Das Inverse ist nach der Cramer-Formel für die inverse Tabelle ebenfalls limestreu differenzierbar in Abhängigkeit von $y$. Einsetzen in $x$ liefert, dass die letzten $n-k$ Komponenten (wegen der Bilddimension) nur von $x$ abhängen, und somit durch Subtraktion entfernt werden können. $\Box$